分析法证明不等式
“每天都要吃热的”通过精心收集，向本站投稿了11篇分析法证明不等式，以下是小编帮大家整理后的分析法证明不等式，欢迎大家收藏分享。
篇1：分析法证明不等式
分析法证明不等式
分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b，求证|a|+|b|/|a+b|<=√2
【1】
∵a⊥b
∴ab=0
又由题设条件可知，
a+b≠0(向量)
∴|a+b|≠0.
具体的，即是|a+b|>0
【2】
显然，由|a+b|>0可知
原不等式等价于不等式：
|a|+|b|≤(√2)|a+b|
该不等式等价于不等式：
(|a|+|b|)≤[(√2)|a+b|].
整理即是：
a+2|ab|+b≤2(a+2ab+b)
【∵|a|=a. |b|=b. |a+b|=(a+b)=a+2ab+b
又ab=0,故接下来就有】】
a+b≤2a+2b
0≤a+b
∵a，b是非零向量，
∴|a|≠0,且|b|≠0.
∴a+b>0.
推上去，可知原不等式成立。
作为数学题型的不等式证明问题和作为数学证明方法的分析法，两者皆为中学数学的教学难点。本文仅就用分析法证明不等式这一问题稍作探讨。
注:“本文中所涉及到的图表、公式注解等形式请以PDF格式阅读原文。”
就是在其两边同时除以根号a+根号b，就可以了。
下面我给你介绍一些解不等式的方法
首先要牢记一些我们常见的不等式。比如均值不等式，柯西不等式，还有琴深不等式(当然这些是翻译的问题)
然后要学会用一些函数的方法，这是解不等式最常见的方法。分析法，综合法，做减法，假设法等等这些事容易的。
在考试的时候方法最多的是用函数的.方法做，关键是找到函数的定义域，还有求出它的导函数。找到他的最小值，最大值。
在结合要求的等等
一句话要灵活的用我们学到的知识解决问题。
还有一种方法就是数学证明题的最会想到的。就是归纳法
这种方法最好，三部曲。你最好把它掌握好。
若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?
解：ab-3=a+b>=2根号ab
令T=根号ab,
T^2-2T-3>=0
T>=3 or T<=-1(舍)
即，根号ab>=3，
故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)。
篇2：分析法证明
分析法证明
a-b=tanα+2tanαsinα+sinα-tanα+2tanαsinα-sinα
=4tanαsinα
左边=16tanαsinα
=16tanα(1-cosα)
=16tanα-16tanαcosα
=16tanα-16sinα/cosα*cosα
=16tanα-16sinα
右边=16(tanα-sinα)
所以左边=右边
命题得证
AC到E，延长DC到F，这样，∠ECF与∠A便成了同位角，只要证明∠ECF=∠A就可以了。因为∠ECF与∠ACD是对顶角，所以，证明∠ECF=∠A，其实就是证明∠ACD=∠A。所以，我们说“同位角相等，两直线平行”与“内错角相等，两直线平行”的证明方法是大同小异的。
其实，这样引辅助线之后，∠BCF与∠B又成了内错角，也可以从这里出发，用“内错角相等，两直线平行”作依据来进行证明。
辅助线当然也不一定要在顶点C处作了，也可以在顶点A处来作，结果又会怎么样呢?即便是在顶点C处作辅助线，我们也可以延长BC到一点G，利用∠DCG与∠B的`同位角关系来进行证明。这些作辅助线的方法和证明的方法，我们这里就不一一的讲述了。有兴趣的朋友，自己下去好好想想，自己练练吧!
2分析法证明ac+bd<=根号(a^2+b^2)*根号(c^2+d^2)成立
请问如何证明?具体过程?
要证ac+bd<=根号(a^2+b^2)*根号(c^2+d^2)
只要(ac+bd)^2<=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)
只要(ac)^2+(bd)^2+2abcd<=a^2c^2+a^2d^2+(bc)^2+(bd)^2
只要2abcd<=a^2d^2+(bc)^2
上述不等式恒成立，故结论成立!
3
用分析法证明已知;tana+sina=a,tana-sina=b,求证(a^2-b^2)^2=16ab
证明：
ax+by≤1
<= (ax+by)^2≤1
<=a^2x^2+b^2y^2+2abxy≤1
因为2abxy≤a^2y^2+b^2x^2(平均值不等式)
所以只需证a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2≤1
而a^2x^2+b^2y^2+a^2y^2+b^2x^2=(a^2+b^2)(x^2+y^2)=1
这应该是分析法吧，我不知道综合法怎么做，不过本质上应该是一样的
a-b=tanα+2tanαsinα+sinα-tanα+2tanαsinα-sinα
=4tanαsinα
左边=16tanαsinα
=16tanα(1-cosα)
=16tanα-16tanαcosα
=16tanα-16sinα/cosα*cosα
=16tanα-16sinα
右边=16(tanα-sinα)
所以左边=右边
命题得证
5更号6+更号7>2更号2+更号5
要证 √6+√7>√8+√5
只需证 6+7+2√42>5+8+2√40
只需证 √42>√40
只需证 42>40
显然成立
所以√6+√7>√8+√5
6
篇3：分析法证明
若a>0 b>0, a+b=1 , 则3^a+3^b<4
要证3^a+3^b<4
则证4-3^a-3^b>0
则证3^1+1-3^a-3^b>0
由于a+b=1
则证3^a*3^b-3^a-3^b+1>0
则证(1-3^a)*(1-3^b)>0
由于a>0，b>0,a+b=1，则0
所以1-3^a>0,1-3^b>0
得证
几何证明分析法
学习数学，关键要学会数学分析方法，特别是几何证明，分析方法显得更加重要。
这里，我们依托人教版七年级《数学》下册第91页复习题7的第6题进行讲解。
“6、如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1, ∠ACD=64°，求证：AB//CD”
篇4：不等式证明
不等式证明
不等式证明不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。
一、不等式的初等证明方法
1.综合法：由因导果。
2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..
(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。
(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。
3.反证法：正难则反。
4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：
(1)添加或舍去一些项，如：
2)利用基本不等式，如：
(3)将分子或分母放大(或缩小)：
5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题
化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。
6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。
7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。
8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。
9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的.。
10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当 a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当 a<0时，f(x)>0(或< 0).△>0(或< 0)。
二、部分方法的例题
1.换元法
换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。
注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。
2.放缩法
欲证 A≥B，可将 B适当放大，即 B1≥B，只需证明 A≥B1。相反，将 A适当缩小，即 A≥A1，只需证明 A1≥B即可。
注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。
3.几何法
数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。
篇5：用分析法证明
证明：要证|(x- y)/(1-xy)|<1
需证|x- y|<|1-xy|
需证|x- y|^2<|1-xy|^2
需证(x-y)^2<(1-xy)^2
需证x^2-2xy+y^2<1-2xy+(xy)^2
需证x^2+y^2<1+(xy)^2
需证1+(xy)^2-(x^2+y^2)>0
需证(1-x^2)-y^2(1-x^)>0
需证(1-x^2)(1-y^2)>0
|x|<1,|y|<1得到 |x|^2<1,|y|^2<1
得到x^2<1,y^2<1
1-x^2>0 1-y^2>0
所以(1-x^2)(1-y^2)>0
所以|(x- y)/(1-xy)|<1成立
2
要使√ac-√bd>√(a-b)(c-d)
必使ac-2√acbd+bd>(a-b)(c-d)
化简得-2√acbd>-ad-bc
即ad+bc>2√acbd
又因为a>b>0, c>b>0,
由均值不等式得
3
a-b=tanα+2tanαsinα+sinα-tanα+2tanαsinα-sinα
=4tanαsinα
左边=16tanαsinα
=16tanα(1-cosα)
=16tanα-16tanαcosα
=16tanα-16sinα/cosα*cosα
=16tanα-16sinα
右边=16(tanα-sinα)
所以左边=右边
命题得证
4、
】
(根6+根7)平方=13+2*根42
2倍的`跟2=根8
(根8+根5)平方=13+2根40
2*根42-2*根40大于0
故成立。
补充上次的题。(根3+根2)(根5-根3)不等于1就行了，不必繁琐求大于1.前提是0 (1/a)+1/(1-a)>=4
1/[a(1-a)]>=4
0 0=0
0=0
0=0成立
其上均可逆
证毕
篇6：分析法证明立体几何
分析法证明立体几何
分析法证明立体几何延长AC到E，延长DC到F，这样，∠ECF与∠A便成了同位角，只要证明∠ECF=∠A就可以了。因为∠ECF与∠ACD是对顶角，所以，证明∠ECF=∠A，其实就是证明∠ACD=∠A。所以，我们说“同位角相等，两直线平行”与“内错角相等，两直线平行”的证明方法是大同小异的。
其实，这样引辅助线之后，∠BCF与∠B又成了内错角，也可以从这里出发，用“内错角相等，两直线平行”作依据来进行证明。
辅助线当然也不一定要在顶点C处作了，也可以在顶点A处来作，结果又会怎么样呢?即便是在顶点C处作辅助线，我们也可以延长BC到一点G，利用∠DCG与∠B的同位角关系来进行证明。这些作辅助线的方法和证明的方法，我们这里就不一一的'讲述了。有兴趣的朋友，自己下去好好想想，自己练练吧!
2分析法证明ac+bd<=根号(a^2+b^2)*根号(c^2+d^2)成立
请问如何证明?具体过程?
要证ac+bd<=根号(a^2+b^2)*根号(c^2+d^2)
只要(ac+bd)^2<=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)
只要(ac)^2+(bd)^2+2abcd<=a^2c^2+a^2d^2+(bc)^2+(bd)^2
只要2abcd<=a^2d^2+(bc)^2
上述不等式恒成立，故结论成立!
3
用分析法证明已知;tana+sina=a,tana-sina=b,求证(a^2-b^2)^2=16ab
a-b=tanα+2tanαsinα+sinα-tanα+2tanαsinα-sinα
=4tanαsinα
左边=16tanαsinα
=16tanα(1-cosα)
=16tanα-16tanαcosα
=16tanα-16sinα/cosα*cosα
=16tanα-16sinα
右边=16(tanα-sinα)
所以左边=右边
命题得证
5更号6+更号7>2更号2+更号5
要证 √6+√7>√8+√5
只需证 6+7+2√42>5+8+2√40
只需证 √42>√40
只需证 42>40
显然成立
所以√6+√7>√8+√5
6
用分析法证明：
若a>0 b>0, a+b=1 , 则3^a+3^b<4
要证3^a+3^b<4
则证4-3^a-3^b>0
则证3^1+1-3^a-3^b>0
由于a+b=1
则证3^a*3^b-3^a-3^b+1>0
则证(1-3^a)*(1-3^b)>0
由于a>0，b>0,a+b=1，则0
所以1-3^a>0,1-3^b>0
得证
几何证明分析法
学习数学，关键要学会数学分析方法，特别是几何证明，分析方法显得更加重要。
这里，我们依托人教版七年级《数学》下册第91页复习题7的第6题进行讲解。
“6、如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1, ∠ACD=64°，求证：AB//CD”
用分析法证明：
若a>0 b>0, a+b=1 , 则3^a+3^b<4
要证3^a+3^b<4
则证4-3^a-3^b>0
则证3^1+1-3^a-3^b>0
由于a+b=1
则证3^a*3^b-3^a-3^b+1>0
则证(1-3^a)*(1-3^b)>0
由于a>0，b>0,a+b=1，则0
所以1-3^a>0,1-3^b>0
得证
几何证明分析法
学习数学，关键要学会数学分析方法，特别是几何证明，分析方法显得更加重要。
这里，我们依托人教版七年级《数学》下册第91页复习题7的第6题进行讲解。
“6、如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1, ∠ACD=64°，求证：AB//CD”
篇7：不等式证明练习题
不等式证明练习题
不等式证明练习题(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展开，得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式， 得
>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z
则原不等式等价于：
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 ，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的'值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
(1/a+2/b+4/c)*1
=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)
展开，得
=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4
=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b
基本不等式， 得
>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a + 2/b + 4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2
=11+6√2≥18
楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z
则原不等式等价于：
x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)
<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0
<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7, -1-7x-7, x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 ，函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y=arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y=arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
篇8：导数证明不等式
f(x)=x-ln(x+1)
f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
x>1,所以f'(x)>0,增函数
所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0
f(x)>0
所以x>0时，x>ln(x+1)
二、
导数是近些年来高中课程加入的新内容，是一元微分学的'核心部分。本文就谈谈导数在一元不等式中的应用。
例1. 已知x∈(0， )，
求证:sinx
篇9：综合法证明不等式
综合法证明不等式
综合法证明不等式若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?
解：ab-3=a+b>=2根号ab
令T=根号ab,
T^2-2T-3>=0
T>=3 or T<=-1(舍)
即，根号ab>=3，
故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)
已知a，b，c为正实数，用综合法证明
2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)
证明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0
--->(a+b)(a-b)^2>=0
--->(a^2-b^2)(a-b)>=0
--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0
--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2
同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2
三同向的不等式的两边相加得到
2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b
就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.证完
1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)
2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的大小关系为
3.不等式
1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，
对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是
1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)
解：lg(a^2+1)
<==>a^2+1
<==>a^2
<==>|a|<|b|≠=>a
且a|a|<|b|,
∴lg(a^2+1)
2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的'大小关系为
解：x/(1+x)+1/2-1
=(x-1)/[2(x+1)]>0,
∴x/(1+x)+1/2>1.
3.不等式
1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，
对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是
解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化为
β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,
而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,
∴β的取值范围是(-∞，4]。
综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。 综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证 ，我们从 ，得 ，移项得 .综合法的证明过程表现为一连串的“因为……所以……”，可用一连串的“ ”来代替.
综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一必须掌握的方法――分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。 实际上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采用这个名字而已。本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。
篇10：第二册不等式证明
目的：以不等式的`等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一――比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差――变形――判断――结论
二、作差法：（P13―14）
1． 求证：x2 + 3 >3x
证：∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 >3x
2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：
证：
∵a,b,m都是正数，并且a
∴ 即：
变式：若a >b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？
3． 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 >a2b3 + a3b2
证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)
=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 >0
又∵a b，∴(a - b)2 >0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) >0
即：a5 + b5 >a2b3 + a3b2
4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为S，
甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，
则： 可得：
∴
∵S, m, n都是正数，且m n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2
从而：甲先到到达指定地点。
变式：若m =n，结果会怎样？
三、作商法
5． 设a, b R+，求证：
证：作商：
当a =b时，
当a >b >0时，
当b >a >0时，
∴ （其余部分布置作业 ）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：作差、作商
五、作业 ： P15 练习
P18 习题6.3 1―4
篇11：均值不等式证明
均值不等式证明
均值不等式证明一、
已知x,y为正实数，且x+y=1 求证
xy+1/xy≥17/4
1=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥2
当且仅当xy=1/xy时取等
也就是xy=1时
画出xy+1/xy图像得
01时，单调增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4
得证
继续追问：
拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证
补充回答：
我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的
法二：
证xy+1/xy≥17/4
即证4(xy)-17xy+4≥0
即证(4xy-1)(xy-4)≥0
即证xy≥4，xy≤1/4
而x,y∈R+，x+y=1
显然xy≥4不可能成立
∵1=x+y≥2√(xy)
∴xy≤1/4，得证
法三：
∵同理0
xy+1/xy-17/4
=(4xy-4-17xy)/4xy
=(1-4xy)(4-xy)/4xy
≥0
∴xy+1/xy≥17/4
试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!
二、
已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)
于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0
即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】
那么
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】
≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0
三、
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
概念：
1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时劝=”号
均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(当r不等于0时);
(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))
则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的'同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立，即
((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，则
k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。
设s=a1+a2+…+ak，
{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)
={s/k+[k a(k+1)-s]/[k(k+1)]}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)-s]/k(k+1) 用引理
=(s/k)^k* a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设
下面介绍个好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。
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