三角形重心
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篇1：三角形的重心是什么
三角形的五心：
1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的`交点。
5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。旁心到三角形三边的距离相等。三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。
篇2：证明三角形重心判定定义
1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。
推论：由性质1可知GA+GB+GC=0
向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.
向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.
则1-x= y/2， x/2=1-y，
解得x=2/3,y=2/3.
篇3：证明三角形重心判定定义
中线定理，又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。
三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍。
在△ABC中，AI为BC边上的中线。求证：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?
以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(-a，0)，则C点坐标为(a，0)。
过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D(m，0)，E(0，n)。
由勾股定理可得
AO?=m?+n?,
中线定理的证明
中线定理的证明
AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,
AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.
∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?
=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)
又∵AO?=m?+n?,
∴AB?+AC?=2a?+2AO?
又∵B(-a，0)，C(a，0),
∴a=BC
∴a?=BC?
∴2a?=2·BC?=BC?
∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。
篇4：证明三角形重心判定定义
1、三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。
2、三角形的重心也是它的中点三角形的重心。
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
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