函数单调性
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篇1:函数单调性
课题:§1.3.1函数的单调性教学目的:(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;(3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性.教学重点:函数的单调性及其几何意义.教学难点 :利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程 :一、引入课题1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1
1 随x的增大,y的值有什么变化?2 能否看出函数的最大、最小值?yx1-11-13 函数图象是否具有某种对称性?
2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律:1.f(x) =x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 在区间 ____________ 上,随着x的.增大,f(x)的值随着 ________ .yx1-11-1
2.f(x) =-2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ .yx1-11-13.f(x) =x2
1在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ . 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ .二、新课教学(一)函数单调性定义1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1篇2:函数的单调性
教学目标
1.使学生理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性.
2.通过函数单调性概念的教学,培养学生分析问题、认识问题的能力.通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力.
3.通过本节课的教学,渗透数形结合的数学思想,对学生进行辩证唯物主义的教育.
教学重点与难点
教学重点:函数单调性的概念.
教学难点:函数单调性的判定.
教学过程设计
一、引入新课
师:请同学们观察下面两组在相应区间上的函数,然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么?
(用投影幻灯给出两组函数的图象.)
第一组:
第二组:
生:第一组函数,函数值y随x的增大而增大;第二组函数,函数值y随x的增大而减小.
师:(手执投影棒使之沿曲线移动)对.他(她)答得很好,这正是两组函数的主要区别.当x变大时,第一组函数的函数值都变大,而第二组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中,函数值变大或变小的方式并不相同,但每一组函数却具有一种共同的性质.我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时,就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质.而这些研究结论是直观地由图象得到的.在函数的集合中,有很多函数具有这种性质,因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究,这就是我们今天这一节课的内容.
(点明本节课的内容,既是曾经有所认识的,又是新的知识,引起学生的注意.)
二、对概念的分析
篇3:函数的单调性
师:请同学们打开课本第51页,请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍.
(学生朗读.)
师:好,请坐.通过刚才阅读增函数和减函数的定义,请同学们思考一个问题:这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致?如果一致,定义中是怎样描述的?
生:我认为是一致的.定义中的“当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)”描述了y随x的增大而增大;“当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”描述了y随x的增大而减少.
师:说得非常正确.定义中用了两个简单的不等关系“x1<x2”和“f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)”,它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质.这就是数学的魅力!
(通过教师的情绪感染学生,激发学生学习数学的兴趣.)
师:现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1(x)和y=f2(x)的图象,体会这种魅力.
(指图说明.)
师:图中y=f1(x)对于区间[a,b]上的任意x1,x2,当x1<x2时,都有f1(x1)<f1(x),因此y=f1(x)在区间[a,b]上是单调递增的,区间[a,b]是函数y=f1(x)的单调增区间;而图中y=f2(x)对于区间[a,b]上的任意x1,x2,当x1<x2时,都有f2(x1)>f2(x2),因此y=f2(x)在区间[a,b]上是单调递减的,区间[a,b]是函数y=f2(x)的单调减区间.
(教师指图说明分析定义,使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来,使新旧知识融为一体,加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思想方法.)
师:因此我们可以说,增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……
(不把话说完,指一名学生接着说完,让学生的思维始终跟着老师.)
生:较大的函数值的函数.
师:那么减函数呢?
生:减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数.
(学生可能回答得不完整,教师应指导他说完整.)
师:好.我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析,通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语,才能更透彻地认识定义?
(学生思索.)
学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念(或定义),能否抓住定义中的关键词语,是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件,更是学好数学及其他各学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念,以培养学生分析问题,认识问题的能力.
(教师在学生思索过程中,再一次有感情地朗读定义,并注意在关键词语处适当加重语气.在学生感到无从下手时,给以适当的提示.)
生:我认为在定义中,有一个词“给定区间”是定义中的关键词语.
师:很好,我们在学习任何一个概念的时候,都要善于抓住定义中的关键词语,在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同.增函数和减函数都是对相应的区间而言的,离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性.请大家思考一个问题,我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的?为什么?
生:不能.因为此时函数值是一个数.
师:对.函数在某一点,由于它的`函数值是唯一确定的常数(注意这四个字“唯一确定”),因而没有增减的变化.那么,我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢?你能否举一个我们学过的例子?
生:不能.比如二次函数y=x2,在y轴左侧它是减函数,在y轴右侧它是增函数.因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数.
(在学生回答问题时,教师板演函数y=x2的图像,从“形”上感知.)
师:好.他(她)举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”.这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质,但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数.因此,今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间.
师:还有没有其他的关键词语?
生:还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语.
师:你答的很对.能解释一下为什么吗?
(学生不一定能答全,教师应给予必要的提示.)
师:“属于”是什么意思?
生:就是说两个自变量x1,x2必须取自给定的区间,不能从其他区间上取.
师:如果是闭区间的话,能否取自区间端点?
生:可以.
师:那么“任意”和“都有”又如何理解?
生:“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性,而“都有”则是说只要x1<x2,f(x1)就必须都小于f(x2),或f(x1)都大于f(x2).
师:能不能构造一个反例来说明“任意”呢?
(让学生思考片刻.)
生:可以构造一个反例.考察函数y=x2,在区间[-2,2]上,如果取两个特定的值x1=-2,x2=1,显然x1<x2,而f(x1)=4,f(x2)=1,有f(x1)>f(x2),若由此判定y=x2是[-2,2]上的减函数,那就错了.
师:那么如何来说明“都有”呢?
生:y=x2在[-2,2]上,当x1=-2,x2=-1时,有f(x1)>f(x2);当x1=1,x2=2时,有f(x1)<f(x2),这时就不能说y=x2,在[-2,2]上是增函数或减函数.
师:好极了!通过分析定义和举反例,我们知道要判断函数y=f(x)在某个区间内是增函数或减函数,不能由特定的两个点的情况来判断,而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1,x2,根据它们的函数值f(x1)和f(x2)的大小来判定函数的增减性.
(教师通过一系列的设问,使学生处于积极的思维状态,从抽象到具体,并通过反例的反衬,使学生加深对定义的理解.在概念教学中,反例常常帮助学生更深刻地理解概念,锻炼学生的发散思维能力.)
师:反过来,如果我们已知f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么,我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小,也可以由函数值的大小去判定自变量的大小.即一般成立则特殊成立,反之,特殊成立,一般不一定成立.这恰是辩证法中一般和特殊的关系.
(用辩证法的原理来解释数学知识,同时用数学知识去理解辩证法的原理,这样的分析,有助于深入地理解和掌握概念,分清概念的内涵和外延,培养学生学习的能力.)
三、概念的应用
例1图4所示的是定义在闭区间[-5,5]上的函数f(x)的图象,根据图象说出f(x)的单调区间,并回答:在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数?
(用投影幻灯给出图象.)
生甲:函数y=f(x)在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,因此[-5,-2],[1,3]是函数y=f(x)的单调减区间;在区间[-2,1],[3,5]上是增函数,因此[-2,1],[3,5]是函数y=f(x)的单调增区间.
生乙:我有一个问题,[-5,-2]是函数f(x)的单调减区间,那么,是否可认为(-5,-2)也是f(x)的单调减区间呢?
师:问得好.这说明你想的很仔细,思考问题很严谨.容易证明:若f(x)在[a,b]上单调(增或减),则f(x)在(a,b)上单调(增或减).反之不然,你能举出反例吗?一般来说.若f(x)在[a,
(增或减).反之不然.
例2证明函数f(x)=3x+2在(-∞,+∞)上是增函数.
师:从函数图象上观察函数的单调性固然形象,但在理论上不够严格,尤其是有些函数不易画出图象,因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认,这才是我们研究函数单调性的基本途径.
(指出用定义证明的必要性.)
师:怎样用定义证明呢?请同学们思考后在笔记本上写出证明过程.
(教师巡视,并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较f(x1)和f(x2)的大小关系感到无从入手,教师应给以启发.)
师:对于f(x1)和f(x2)我们如何比较它们的大小呢?我们知道对两个实数a,b,如果a>b,那么它们的差a-b就大于零;如果a=b,那么它们的差a―b就等于零;如果a<b,那么它们的差a-b就小于零,反之也成立.因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系.
生:(板演)设x1,x2是(-∞,+∞)上任意两个自变量,当x1<x2时,
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3x1-3x2=3(x1-x2)<0,
所以f(x)是增函数.
师:他的证明思路是清楚的.一开始设x1,x2是(-∞,+∞)内任意两个自变量,并设x1<x2(边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线,并标注“①→设”),然后看f(x1)-f(x2),这一步是证明的关键,再对式子进行变形,一般方法是分解因式或配成完全平方的形式,这一步可概括为“作差,变形”(同上,划线并标注”②→作差,变形”).但美中不足的是他没能说明为什么f(x1)-f(x2)<0,没有用到开始的假设“x1<x2”,不要以为其显而易见,在这里一定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为x1<x2,所以x1-x2<0,从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).”这一步可概括为“定符号”(在黑板上板演,并注明“③→定符号”).最后,作为证明题一定要有结论,我们把它称之为第四步“下结论”(在相应位置标注“④→下结论”).
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤,请同学们记住.需要指出的是第二步,如果函数y=f(x)在给定区间上恒大于零,也可以
小.
(对学生的做法进行分析,把证明过程步骤化,可以形成思维的定势.在学生刚刚接触一个新的知识时,思维定势对理解知识本身是有益的,同时对学生养成一定的思维习惯,形成一定的解题思路也是有帮助的.)
调函数吗?并用定义证明你的结论.
师:你的结论是什么呢?
上都是减函数,因此我觉得它在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.
生乙:我有不同的意见,我认为这个函数不是整个定义域内的减函数,因为它不符合减函数的定义.比如取x1∈(-∞,0),取x2∈(0,+∞),x1<x2显然成立,而f(x1)<0,f(x2)>0,显然有f(x1)<f(x2),而不是f(x1)>f(x2),因此它不是定义域内的减函数.
生:也不能这样认为,因为由图象可知,它分别在(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数.
域内的增函数,也不是定义域内的减函数,它在(-∞,0)和(0,+∞)每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增(减)区间之间不要用符号“∪”连接.另外,x=0不是定义域中的元素,此时不要写成闭区间.
上是减函数.
(教师巡视.对学生证明中出现的问题给予点拔.可依据学生的问题,给出下面的提示:
(1)分式问题化简方法一般是通分.
(2)要说明三个代数式的符号:k,x1・x2,x2-x1.
要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候,不等号方向要改变.
对学生的解答进行简单的分析小结,点出学生在证明过程中所出现的问题,引起全体学生的重视.)
四、课堂小结
师:请同学小结一下这节课的主要内容,有哪些是应该特别注意的?
(请一个思路清晰,善于表达的学生口述,教师可从中给予提示.)
生:这节课我们学习了函数单调性的定义,要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语;在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接;最后在用定义证明函数的单调性时,应该注意证明的四个步骤.
五、作业
1.课本P53练习第1,2,3,4题.
数.
=a(x1-x2)(x1+x2)+b(x1-x2)
=(x1-x2)[a(x1+x2)+b].(*)
+b>0.由此可知(*)式小于0,即f(x1)<f(x2).
课堂教学设计说明
函数的单调性是函数的一个重要性质,是研究函数时经常要注意的一个性质.并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用.对学生来说,函数的单调性早已有所知,然而没有给出过定义,只是从直观上接触过这一性质.学生对此有一定的感性认识,对概念的理解有一定好处,但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识,感觉乏味.因此,在设计教案时,加强了对概念的分析,希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西,其中甚至包含着辩证法的原理.
另外,对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的,对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点.因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义,而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识,并且在以后的学习中学有所用.
还有,使用函数单调性定义证明是一个难点,学生刚刚接触这种证明方法,给出一定的步骤是必要的,有利于学生理解概念,也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助.另外,这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路,现在提出要求,对今后的教学作一定的铺垫.
篇4:函数单调性说课稿
一、教学内容的分析
1.教材的地位和作用
首先,从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段,第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识;第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义,从数和形两个方面理解单调性的概念;第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习,既是初中学习的延续和深化,又为高三的学习奠定基础.
其次,从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质,也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研究自变量变化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识,都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段,即都从图象观察,以函数解析式为依据,经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析解释定性结果的过程.因此,函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
最后,从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础,是解决数学问题的常用工具,也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
2.教学的重点和难点
对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
首先,要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
其次,单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.
根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求,本节课的教学重点是函数单调性的概念,判断、证明函数的单调性;难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平,我从三个方面确定了以下教学目标:
1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.
2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.
3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.
三、教学方法的选择
1.教学方法
本节课是函数单调性的起始课,根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,主要采取教师启发讲授,学生探究学习的教学方法.教学过程中,根据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究,从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力.
2.教学手段
教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学.目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为四个阶段:创设情境,引入课题;归纳探索,形成概念;掌握证法,适当延展;归纳小结,提高认识.具体过程如下:
(一)创设情境,引入课题
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后,才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解,因此在本阶段的教学中,我从具体材料??——有关奥运会天气的例子出发,而不是从抽象语言入手来引入函数的单调性.使学生体会到研究函数单调性的必要性,明确本课我们要研究和学习的课题,同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.
在课前,我给学生布置了两个任务:
(1) 由于某种原因,北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国际体育赛事.
(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上我引导学生观察8月8日的气温变化曲线图,引导学生体会在某些时段温度升高,某些时段温度降低.
然后,我指出生活中我们关心很多数据的变化,并让学生举出一些实际例子(如燃油价格等). 随后进一步引导学生归纳:所有这些数据的变化,用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.
(二)归纳探索,形成概念
在本阶段的教学中,为使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学思想,经历观察、归纳、抽象的探究过程,加深对函数单调性的本质的认识,我设计了三个环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识.
1.借助图象,直观感知
本环节的教学主要是从学生的已有认知出发,即从学生熟悉的`常见函数的图象出发,直观感知函数的单调性,完成对函数单调性定义的第一次认识.
在本环节的教学中,我主要设计了两个问题:
问题1:分别作出函数的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?
在学生画图的基础上,引导学生观察图象,获得信息:第一个图象从左向右逐渐上升,随x的增大而增大;第二个图象从左向右逐渐下降,随x的增大而减小.然后让学生明确,对于自变量变化时,函数值具有这两种变化规律的函数,我们分别称为增函数和减函数.
而后两个函数图象的上升与下降要分段说明,通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
对于概念教学,若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性,则能更好的理解和掌握概念,因此我设计了问题2.
问题2:能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
教学中,我引导学生用自己的语言描述增函数的定义:
如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升,或者如果函数在某个区间上随自变量x的增大,也越来越大,我们说函数在该区间上为增函数.
然后让学生类比描述减函数的定义.至此,学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的认识.
2.探究规律,理性认识
在此环节中,我设计了两个问题,通过对两个问题的研究、交流、讨论,将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式,使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度,使学生完成对概念的第二次认识.
问题1:右图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?
对于问题1,学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性,从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.
问题2:如何从解析式的角度说明在上为增函数?
在前边的铺垫下,问题2是形成单调性概念的关键.在教学中,我组织学生先分组探究,然后全班交流,相互补充,并及时对学生的发言进行反馈,评价,对普遍出现的问题组织学生讨论,在辨析中达成共识.
对于问题2,学生错误的回答主要有两种:
(1)在给定区间内取两个数,例如1和2,因为,所以在上为增函数.
(2)仿(1),取很多组验证均满足,所以在上为增函数.
对于这两种错误,我鼓励学生分别用图形语言和文字语言进行辨析.引导学生明确问题的根源是两个自变量不可能被穷举.在充分讨论的基础上,引导学生从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小,从而得到正确的回答:
任意取,有,即,所以在为增函数.
这种回答既揭示了单调性的本质,也让学生领悟到两点:(1)两自变量的取值具有任意性;(2)求差比较它们函数值的大小.事实上,这种回答也给出了证明单调性的方法,为后续用定义证明其他函数的单调性做好铺垫,降低难度.至此,学生对函数单调性有了理性的认识.
3.抽象思维,形成概念
本环节在前面研究的基础上,引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义,使学生经历从特殊到一般,从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识.
教学中,我引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义,并让学生类比得到减函数的定义.然后我指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.
(三)掌握证法,适当延展
本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结,使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法,同时引导学生探究定义的等价形式,对证明方法做适当延展.
(四)归纳小结,提高认识
本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈,组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律,深化对数学思想方法的认识,为后续学习打好基础.
1.学习小结
在知识层面上,引导学生回顾函数单调性定义的探究过程,使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识,体会到数学概念形成的主要三个阶段:直观感受、文字描述和严格定义.
在方法层面上,首先引导学生回顾判断,证明函数单调性的方法和步骤;然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法,如数形结合,等价转化,类比等,重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结果;同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫.
2.布置作业
在布置书面作业的同时,为了尊重学生的个体差异,满足学生多样化的学习需要,我设计了探究作业供学有余力的同学课后完成.
(1) 证明:函数在上是增函数的充要条件是对任意的,且有.
目的是加深学生对定义的理解,而且这种方法进一步发展同样也可以得到导数法.
(2) 研究函数的单调性,并结合描点法画出函数的草图.
目的是使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程,体会由数到形的研究方法和引入单调性定义的必要性,加深对数形结合的认识.
以上就是我对《函数的单调性》这节课的教学设想.
各位专家、评委,本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中,我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中,亲身经历数学概念的发生与发展过程,从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。
篇5:函数的单调性说课稿
一、教学内容的分析
1.教材的地位和作用
首先,从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段,第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识;第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义,从数和形两个方面理解单调性的概念;第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习,既是初中学习的延续和深化,又为高三的学习奠定基础.
其次,从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质,也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研究自变量变化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识,都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段,即都从图象观察,以函数解析式为依据,经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析解释定性结果的过程.因此,函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.
最后,从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础,是解决数学问题的常用工具,也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
2.教学的重点和难点
对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
首先,要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.
其次,单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.
根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求,本节课的教学重点是函数单调性的概念,判断、证明函数的单调性;难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平,我从三个方面确定了以下教学目标:
1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.
2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.
3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.
三、教学方法的选择
1.教学方法
本节课是函数单调性的起始课,根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,主要采取教师启发讲授,学生探究学习的教学方法.教学过程中,根据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究,从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力.
2.教学手段
教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学.目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为四个阶段:创设情境,引入课题;归纳探索,形成概念;掌握证法,适当延展;归纳小结,提高认识.具体过程如下:
(一)创设情境,引入课题
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后,才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解,因此在本阶段的教学中,我从具体材料——有关奥运会天气的例子出发,而不是从抽象语言入手来引入函数的单调性.使学生体会到研究函数单调性的必要性,明确本课我们要研究和学习的课题,同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.
在课前,我给学生布置了两个任务:
(1) 由于某种原因,20北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国际体育赛事.
(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上我引导学生观察208月8日的气温变化曲线图,引导学生体会在某些时段温度升高,某些时段温度降低.
然后,我指出生活中我们关心很多数据的变化,并让学生举出一些实际例子(如燃油价格等). 随后进一步引导学生归纳:所有这些数据的变化,用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.
(二)归纳探索,形成概念
在本阶段的教学中,为使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学思想,经历观察、归纳、抽象的探究过程,加深对函数单调性的本质的认识,我设计了三个环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识.
1.借助图象,直观感知
本环节的教学主要是从学生的已有认知出发,即从学生熟悉的常见函数的图象出发,直观感知函数的单调性,完成对函数单调性定义的第一次认识.
在本环节的教学中,我主要设计了两个问题:
问题1:分别作出函数的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律?
在学生画图的基础上,引导学生观察图象,获得信息:第一个图象从左向右逐渐上升,y随x的增大而增大;第二个图象从左向右逐渐下降,y随x的增大而减小.然后让学生明确,对于自变量变化时,函数值具有这两种变化规律的函数,我们分别称为增函数和减函数.
而后两个函数图象的上升与下降要分段说明,通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质.
对于概念教学,若学生能用自己的语言来表述概念的相关属性,则能更好的理解和掌握概念,因此我设计了问题2.
问题2:能否根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
教学中,我引导学生用自己的语言描述增函数的定义:
如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升,或者如果函数在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数在该区间上为增函数.
然后让学生类比描述减函数的定义.至此,学生对函数单调性就有了一个直观、描述性的'认识.
2.探究规律,理性认识
在此环节中,我设计了两个问题,通过对两个问题的研究、交流、讨论,将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式,使学生对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度,使学生完成对概念的第二次认识.
问题1:右图是函数的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?
对于问题1,学生的困难是难以确定分界点的确切位置.通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性,从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.
问题2:如何从解析式的角度说明在上为增函数?
在前边的铺垫下,问题2是形成单调性概念的关键.在教学中,我组织学生先分组探究,然后全班交流,相互补充,并及时对学生的发言进行反馈,评价,对普遍出现的问题组织学生讨论,在辨析中达成共识.
对于问题2,学生错误的回答主要有两种:
(1)在给定区间内取两个数,例如1和2,因为,所以在上为增函数.
(2)仿(1),取很多组验证均满足,所以在上为增函数.
对于这两种错误,我鼓励学生分别用图形语言和文字语言进行辨析.引导学生明确问题的根源是两个自变量不可能被穷举.在充分讨论的基础上,引导学生从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小,从而得到正确的回答:
任意取,有,即,所以在为增函数.
这种回答既揭示了单调性的本质,也让学生领悟到两点:(1)两自变量的取值具有任意性;(2)求差比较它们函数值的大小.事实上,这种回答也给出了证明单调性的方法,为后续用定义证明其他函数的单调性做好铺垫,降低难度.至此,学生对函数单调性有了理性的认识.
3.抽象思维,形成概念
本环节在前面研究的基础上,引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义,使学生经历从特殊到一般,从具体到抽象的认知过程,完成对概念的第三次认识.
教学中,我引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义,并让学生类比得到减函数的定义.然后我指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.
同时我设计了一组判断题:
判断题:
②若函数满足f(2) ③若函数在和(2,3)上均为增函数,则函数在(1,3)上为增函数. ④因为函数在上都是减函数,所以在上是减函数. 通过对判断题的讨论,强调三点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数. 从而加深学生对定义的理解,完成本阶段的教学. (三)掌握证法,适当延展 本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲解以及反思小结,使学生初步掌握根据单调性定义证明函数单调性的方法,同时引导学生探究定义的等价形式,对证明方法做适当延展. 例证明函数在上是增函数. 在引入导数后,用定义证明单调性的作用已经有所降低,我选择一个较难的例子,主要是考虑让学生对证明过程中遇到的问题有一个比较深刻的认识. 证明过程的教学分为三个环节:难点突破、详细板书、归纳步骤. 1.难点突破 对于函数单调性的证明,由于前边有对函数在上为增函数的研究作铺垫, 大部分学生能完成取值和求差两个步骤: 证明:任取, 因此学生的难点主要是两个函数值求差后的变形方向以及变形的程度.问题主要集中在两个方面:一方面部分学生不知道如何变形,不敢动笔;另一方面部分学生在变形不彻底,理由不充分的情形下就下结论. 针对这两方面的问题,教学中,我组织学生讨论,引导学生回顾函数在上为增函数的说明过程,明确变形的主要思路是因式分解.然后我引导学生从已有的认知出发,考虑分组分解法,即把形式相同的项分在一起,变形后容易找到公因式,提取后即可考虑判断符号. 2.详细板书 在上面分析的基础上,我对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯. 3.归纳步骤 在板书的基础上,我引导学生归纳利用定义证明函数单调性的方法和步骤(设元,求差,变形,断号,定论).通过对证明过程的分析,使学生明确每一步的必要性和目的,特别是第三步,让学生明确变形的方法以及变形的程度,帮助学生掌握方法,提高学生的推理论证能力. 为了巩固用定义证明函数单调性的方法,强化解题步骤,形成并提高解题能力,我设计了课堂练习: 证明:函数在上是增函数. 教学过程中,我对学生的完成情况进行及时评价和有针对性的指导.同时考虑到我校学生数学基础较好,思维较为活跃的特点,为了加深学生对定义的理解,并对判断单调性的方法做适当延展,我设计了下面的问题. 问题:除了用定义外,如果证得对任意的,且,有,能断定函数在上是增函数吗? 教学过程中,我引导学生分析这种叙述与定义的等价性.然后,让学生尝试用这种定义等价形式证明之前的课堂练习.这种方法进一步发展可以得到导数法,为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔. (四)归纳小结,提高认识 本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈,组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律,深化对数学思想方法的认识,为后续学习打好基础. 1.学习小结 在知识层面上,引导学生回顾函数单调性定义的探究过程,使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识,体会到数学概念形成的主要三个阶段:直观感受、文字描述和严格定义. 在方法层面上,首先引导学生回顾判断,证明函数单调性的方法和步骤;然后引导学生回顾知识探究过程中用到的思想方法和思维方法,如数形结合,等价转化,类比等,重点强调用符号语言来刻画图形语言,用定量分析来解释定性结果;同时对学习过程作必要的反思,为后续的学习做好铺垫. 2.布置作业 在布置书面作业的同时,为了尊重学生的个体差异,满足学生多样化的学习需要,我设计了探究作业供学有余力的同学课后完成. (1) 证明:函数在上是增函数的充要条件是对任意的,且有. 目的是加深学生对定义的理解,而且这种方法进一步发展同样也可以得到导数法. (2) 研究函数的单调性,并结合描点法画出函数的草图. 目的是使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程,体会由数到形的研究方法和引入单调性定义的必要性,加深对数形结合的认识. 以上就是我对《函数的单调性》这节课的教学设想. 各位专家、评委,本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中,我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中,亲身经历数学概念的发生与发展过程,从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念. 函数单调性与奇偶性 教学目标 1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法. (1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念. (2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性. (3)能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程. 2.通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想. 3.通过对函数单调性和奇偶性的理论研究,增学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度. 教学建议 一、知识结构 (1)函数单调性的概念。包括增函数、减函数的定义,单调区间的概念函数的单调性的判定方法,函数单调性与函数图像的关系. (2)函数奇偶性的概念。包括奇函数、偶函数的定义,函数奇偶性的判定方法,奇函数、偶函数的图像. 二、重点难点分析 (1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,掌握单调性的证明. (2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点. 三、教法建议 (1)函数单调性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,回忆图象的增减性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导学生发现自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来. (2)函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的'标准,以便帮助学生总结规律. 函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以 的图象为例,让自变量互为相反数,观察对应的函数值的变化规律,先从具体数值 开始,逐渐让 在数轴上动起来,观察任意性,再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程,再得到等式 时,就比较容易体会它代表的是无数多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,帮助学生发现定义域的对称性,同时还可以借助图象(如 )说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件. 函数的奇偶性教学设计方案 教学目标 1.使学生了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性. 2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法. 3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神. 教学重点,难点 重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断 难点是对概念的认识 教学用具 投影仪,计算机 教学方法 引导发现法 教学过程 一. 引入新课 前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质. 对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢? (学生可能会举出一些数值上的对称问题, 等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如 和 等.) 结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于 轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于 轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于 轴对称的吗? 学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个 只能对一个 ,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于 轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于 轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律. 二. 讲解新课 2.函数的奇偶性(板书) 教师从刚才的图象中选出 ,用计算机打出,指出这是关于 轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于 轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律? 学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令 比较 得出等式 ,再令 ,得到 ,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在 ,使 与 不等呢?(可用课件帮助演示让 动起来观察,发现结论,这样的 是不存在的) 从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个 ,都有 成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整. (1) 偶函数的定义:如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做偶函数.(板书) (给出定义后可让学生举几个例子,如 等以检验一下对概念的初步认识) 提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出 或 的图象让学生观察研究) 学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义. (2) 奇函数的定义: 如果对于函数 的定义域内任意一个 ,都有 ,那么 就叫做奇函数.(板书) (由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识) 例1. 判断下列函数的奇偶性(板书) (1) ; (2) ; (3) ; ; (5) ; (6) . (要求学生口答,选出1-2个题说过程) 解: (1) 是奇函数.(2) 是偶函数. (3) , 是偶函数. 前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证 与 之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢? 学生经过思考可以解决问题,指出只要举出一个反例说明 与 不等.如 即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要) 从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的 = 不能经受任意性的考验,当 时,由于 ,故 不存在,更谈不上与 相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性. 教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件? 可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论. (3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书) 由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明. 经学生思考,可找到函数 .然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗? 例2. 已知函数 既是奇函数也是偶函数,求证: .(板书) (试由学生来完成) 证明: 既是奇函数也是偶函数, = ,且 , = . ,即 . 证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现, 只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如 , , , ,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类 (4) 函数按其是否具有奇偶性可分为四类: (板书) 例3. 判断下列函数的奇偶性(板书) (1) ; (2) ; (3) . 由学生回答,不完整之处教师补充. 解: (1)当 时, 为奇函数,当 时, 既不是奇函数也不是偶函数. (2)当 时, 既是奇函数也是偶函数,当 时, 是偶函数. (3) 当 时, 于是 , 当 时, ,于是 = , 综上 是奇函数. 教师小结 (1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当 检验 ,并不能说明 具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须 均有 成立,二者缺一不可. 三. 小结 1. 奇偶性的概念 2. 判断中注意的问题 四. 作业 略 五.板书设计 2.函数的奇偶性 例1. 例3. (1) 偶函数定义 (2) 奇函数定义 (3) 定义域关于原点对称是函数 例2. 小结 具备奇偶性的必要条件 (4)函数按奇偶性分类分四类 (1) 定义域为 的任意函数 都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,你能试证明之吗? (2) 判断函数 在 上的单调性,并加以证明. 在此基础上试利用这个函数的单调性解决下面的问题: 设 为三角形的三条边,求证: .篇6:函数单调性与奇偶性
探究活动
篇7:函数的单调性说课稿
函数的单调性说课稿
一、教学内容的分析
1.教材的地位和作用
首先,从单调性知识本身来讲。学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段,第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识;第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义,从数和形两个方面理解单调性的概念;第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性。高一单调性的学习,既是初中学习的延续和深化,又为高三的学习奠定基础.
其次,从函数角度来讲。函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质,也是第一个用数学符号语言来刻画的概念。函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样,都是研究自变量变化时,函数值的变化规律;学生对于这些概念的认识,都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段,即都从图象观察,以函数解析式为依据,经历用符号语言刻画图形语言,用定量分析解释定性结果的过程。因此,函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据。
最后,从学科角度来讲。函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其它数学知识的重要基础,是解决数学问题的常用工具,也是培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材。
2.教学的重点和难点
对于函数的单调性,学生的认知困难主要在两个方面:
首先,要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的.学生来说比较困难。
其次,单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。
根据以上的分析和教学大纲对单调性的教学要求,本节课的教学重点是函数单调性的概念,判断、证明函数的单调性;难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平,我从三个方面确定了以下教学目标:
1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.
2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力.
3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.
三、教学方法的选择
1.教学方法
本节课是函数单调性的起始课,根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,主要采取教师启发讲授,学生探究学习的教学方法。教学过程中,根据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展示相应的数学思维过程,使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段,引导学生独立自主地开展思维活动,深入探究,从而创造性地解决问题,最终形成概念,获得方法,培养能力。
2.教学手段
教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学.目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过程设计为四个阶段:创设情境,引入课题;归纳探索,形成概念;掌握证法,适当延展;归纳小结,提高认识。具体过程如下:
(一)创设情境,引入课题
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后,才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解,因此在本阶段的教学中,我从具体材料——有关奥运会天气的例子出发,而不是从抽象语言入手来引入函数的单调性。使学生体会到研究函数单调性的必要性,明确本课我们要研究和学习的课题,同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.
在课前,我给学生布置了两个任务:
(1)由于某种原因,20XX年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因。
课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的天气到8月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国际体育赛事。
(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况。
课上我引导学生观察20XX年8月8日的气温变化曲线图,引导学生体会在某些时段温度升高,某些时段温度降低。
然后,我指出生活中我们关心很多数据的变化,并让学生举出一些实际例子(如燃油价格等)。随后进一步引导学生归纳:所有这些数据的变化,用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小.
(二)归纳探索,形成概念
在本阶段的教学中,为使学生充分感受数学概念的发生与发展过程和数形结合的数学思想,经历观察、归纳、抽象的探究过程,加深对函数单调性的本质的认识,我设计了三个环节,引导学生分别完成对单调性定义的三次认识。
1.借助图象,直观感知
本环节的教学主要是从学生的已有认知出发,即从学生熟悉的常见函数的图象出发,直观感知函数的单调性,完成对函数单调性定义的第一次认识。
在本环节的教学中,我主要设计了两个问题:
问题1:分别作出函数,所以上为增函数.
(2)仿(1),取很多组验证均满足,所以,然后求差比较函数值的大小,从而得到正确的回答:
上为增函数的说明过程,明确变形的主要思路是因式分解。然后我引导学生从已有的认知出发,考虑分组分解法,即把形式相同的项分在一起,变形后容易找到公因式的单调性,并结合描点法画出函数的草图.
目的是使学生体会到利用函数的单调性可以简化函数图象的绘制过程,体会由数到形的研究方法和引入单调性定义的必要性,加深对数形结合的认识.
以上就是我对《函数的单调性》这节课的教学设想。
各位专家、评委,本节课我在概念教学上进行了一些尝试。在教学过程中,我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中,亲身经历数学概念的发生与发展过程,从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。
不足之处,恳请各位专家批评指正.谢谢!
篇8:“函数的单调性”教案
“函数的单调性”教案
【教学目标】 【知识目标】:使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,学会利用函数图像理解和研究函数的性质,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法. 【能力目标】通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力. 【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程. 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质,并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用, 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性,常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点. 【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一,它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起,所以本节课在教材中的作用如下 (1)函数的单调性起着承前启后的作用。一方面,初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用,函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系;函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性,合称为函数的简单性质,是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。 (2)函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材,这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象,概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义,明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性,既有从图像上进行观察的直观方法,又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法,最后将两种方法统一起来,形成根据观察图像得出猜想结论,进而用推理证明猜想的体系。同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题,有利于学生数学能力的提高。 (3)函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的'数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。 因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点,在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用,为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。 【学情分析】 从学生的知识上看,学生已经学过一次函数,二次函数,反比例函数等简单函数,函数的概念及函数的表示,能画出一些简单函数的图像,从图像的直观变化,学生能粗略的得到函数增减性的定义,所以引入函数的单调性的定义应该是顺理成章的。 从学生现有的学习能力看,通过初中对函数的认识与实验,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看,学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例,但并没有上升为“概念”的水平,如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题,也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质,学生也容易产生共鸣,通过对比产生顿悟,渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。但是如何运用数学符号将自然语言的描述提升为形式化的定义,学生接受起来比较困难?在教学中要多引导,让学生真正的理解函数单调性的定义。 【教学方法】教师是教学的主体、学生是学习的主体,通过双主体的教学模式方法: 启发式教学法――以设问和疑问层层引导,激发学生,启发学生积极思考,逐步从常识走向科学,将感性认识提升到理性认识,培养和发展学生的抽象思维能力。 探究教学法――引导学生去疑;鼓励学生去探; 激励学生去思,培养学生的创造性思维和批判精神。 合作学习――通过组织小组讨论达到探究、归纳的目的。 【教学手段】计算机、投影仪. 【教学过程】 一、创设情境,引入课题(利用电脑展示) 1. 如图为某市一天内的气温变化图: (1)观察这个气温变化图,说出气温在这一天内的变化情况. (2)怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大,气温逐渐升高或下降”这一特征? 引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考. 问题:观察图形,能得到什么信息? 预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到; (2)在某时刻的温度; (3)某些时段温度升高,某些时段温度降低. 在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律, 是很有帮助的. 问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗? 预案:股票价格、水位变化、心电图等等 春兰股份线性图 . 水位变化图 归纳:用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小. 〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣. 二、归纳探索,形成概念 对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1.借助图象,直观感知 问题1:分别作出函数 的图象,并且观察自变量 变化时,函数值有什么变化规律?(学生自己动手画,然后电脑显示下图) 预案:生:函数 在整个定义域内 y随x的增大而增大;函数 在整个定义域内 y随x的增大而减小. 师:函数 的图像变化规律 生:在y轴的的左侧y随x的增大而减小.在y轴的的右侧y随x的增大而增大。 师:我们学过区间的表示方法,如何用区间的概念来表述图像的变化规律 生:在 上 y随x的增大而增大,在 上y随x的增大而减小. 师:这样表述就比较严密了,很好。由上面的讨论可知,函数的单调性与自变量的范围有关,一个函数并不一定在整个正义域内是单调函数,但在定义城的某个子集上可以是单调函数。 (3)函数 的图像变化规律如何。 生:(1)定义域中的减函数。 (2)在 上 y随x的增大而减小,在 上y随x的增大而减小. 师:对于两种答案,哪一种是正确的,为什么?学生分组讨论。从定义域,图像的角度考虑,也可以举反例 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).并引导学生用区间明确描述函数的单调性从而让学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质. 问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案:如果函数 在某个区间上随自变量x的增大,y也越来越大,我们说函数 在该区间上为增函数;如果函数 在某个区间上随自变量x的增大,y越来越小,我们说函数 在该区间上为减函数. 教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识. 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识. 2.探究规律,理性认识 问题1:下图是函数 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?(电脑显示,学生分组讨论) 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题2:如何从解析式的角度说明 在 为增函数? 预案: 生: 在给定区间内取两个数,例如1和2,因为12<22,所以 在 为增函数. 生:仅仅两个数的大小关系不能说明函数y=x2在区间[0,+∞)上为单调递增函数,应该举出无数个。 由于很多学生不能分清“无数”和“所有”的区别,所以许多学生对学生2的说法表示赞同。 生:函数 )无数个如(2)中的实数,显然f(x)也随x的增大而增大,是不是也可以说函数 在区间 上是增函数?可这与图象矛盾啊? 师:“无数个”能不能代表“所有”呢?比如:2、3、4、5……有无数个自然数都比 大,那我们能不能说所有的自然数都比 大呢?所以具体值取得再多,也不能代表所有的,思考如何体现区间上的所有值。引导学生利用字母表示数。 生:任取 且 ,因为 ,即 ,所以 在为增函数. 旧教材的定义在这里就可以归纳出来,但是人教B版新教材使用了自变量的增量和函数值的增量来表述,并为以后学习利用导数判断函数的单调性做准备,所以需进一步引导学生利用增量来定义函数的单调性。 (5)仿(4) 且 ,由图象可知,即给自变量一个增量 ,,函数值的增量 所以 在 为增函数。 对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 进一步寻求自变量的增量与函数值的增量之间的变化规律,判断函数单调性。注意这里的“都有”是对应于“任意”的。 〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫. 3.抽象思维,形成概念 问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义. (1)板书定义 设函数 的定义域为A,区间M A,如果取区间M中的任意两个值 ,当改变量 时,都有 ,那么就称函数 在区间M上是增函数,如图(1)当改变量 时,都有 ,那么就称函数 在区间M上是减函数,如图(2) (2)巩固概念(以下问题老师提问后,学生适当讨论后回答) 师:根据函数的单调性的定义思考:由f(x)是增(减)函数且f(x1)篇9:函数单调性教案练习题
函数单调性教案练习题
引入课题1.观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1
1随x的增大,y的值有什么变化?2能否看出函数的最大、最小值?
yx1-11-13函数图象是否具有某种对称性?
2.画出下列函数的图象,观察其变化规律:
f(x)=x1从左至右图象上升还是下降______?2在区间____________上,随着x的增大,f(x)的值随着________.
yx1-11-1
2.f(x)=-2x+11从左至右图象上升还是下降______?2在区间____________上,随着x的增大,f(x)的`值随着________.
yx1-11-13.f(x)=x2
1在区间____________上,f(x)的值随着x的增大而________.
2在区间____________上,f(x)的值随着x的增大而________.
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