构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式
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篇1：构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式
构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式
构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式设f(x)在[0，1]上连续，且∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1(两个积分都是在0-1上的积分)，求证存在一点X∈[0,1]使Of(x)O>4
反证法
证明：
∵∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1
∴∫[x-(1/2)]f(x)dx=∫xf(x)dx-(1/2)∫f(x)dx=1
设在[0,1]上处处有|f(x)|<4
则∫[x-(1/2)]f(x)dx<=∫|[x-(1/2)]f(x)|dx
<4∫|x-(1/2)|dx (积分区间[0,1])
=4*{∫[(1/2)-x]dx+∫[x-(1/2)]dx} (积分区间分别为[0,1/2]和[1/2,1])
=4*{-(1/2)[0-(1/2)^2]+(1/2)[(1/2)^2-0]
=4*(1/2)(1/4+1/4)
=1
即∫[x-(1/2)]f(x)dx<1，与∫[x-(1/2)]f(x)dx=1矛盾
设在[0,1]上处处有|f(x)|=4
∵f(x)在[0，1]上连续
∴f(x)在[0，1]上恒等于4
或f(x)在[0，1]上恒等于-4
显然与∫f(x)dx=0矛盾
故以上两个假设均不成立。
∴必存在一点X∈[0,1]使Of(x)O>4
原不等式等价于
ln(b/a)>2(b/a-1)/(b/a+1)
由于b>a>0，令b/a=x，x>1
不等式化为lnx>2(x-1)/(x+1)
即lnx>2-4/(x+1)
建立辅助函数f(x)=lnx+4/(x+1)，x>1
f'=1/x-4/(x+1)^2=[(x+1)^2-4x]/[x(x+1)^2]
=(x-1)^2/[x(x+1)^2]>0
所以f(x)在[1,+∞)上单调递增，所以，当x>1时
f(x)>f(1),而f(1)=2
所以lnx+4/(x+1)>2
原不等式成立!
令f(x)=ln(x/a)-2(x-a)/(x+a)，a>0，x>0，
则f'(x)=1/x-4a/(x+a)^2=[(x-a)^2]/[x(x+a)^2]，
当x>a时，总有f'(x)>0，所以f(x)在[a,+∞)上单调增加，
当b>a时，总有f(b)>f(a)=0，即ln(b/a)>2(b-a)/(b+a).
你那个符号我打不出来，就用c代替了埃设F(x)的导数是f(x)。
情况1：f(x)恒大于0。要证的是：∫(上c下a)f(x)dx=3∫(上b下c)f(x)dx。→F(c)-F(a)=3F(b)-F(c)。→F(c)=[3F(b)+F(a)]/4。因为f(x)单调递增，易知F(x)也是单调递增的.。则容易得到F(a)<[3F(b)+F(a)]/4
f(x)在[0,1]上单调递减，证明当x属于(0,1)时，x*[F(1)-F(0)]<=F(x)-F(0)
这个题目有问题，你所说的这种情况还要保证f(x)的2阶导数小于0!你可以把X移过去这样两边就是斜率的表达式， 可以作图观察，在图是凹的情况下不成立，在凸的情况下成立!在凸的情况下，你可以令G(X)=(F(X)-F(0))/X 然后对GX求导通过GX的单调性证明。
篇2：构造函数证明不等式
构造函数证明不等式
构造函数证明不等式构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的.平方/(n的平方-1)]>e的(4n-4)/6n+3)次方
不等式两边取自然对数(严格递增)有:
ln(2^2/2^2-1)+ln(3^2/3^2-1)+...+ln(n^2/n^2-1)>(4n-4)/(6n+3)
不等式左边=2ln2-ln1-ln3+2ln3-ln2-ln4+...+2lnn-ln(n-1)-ln(n+1)
=ln2-ln1+lnn-ln(n+1)=ln[n^2/(n+1)]
构造函数f(x)=ln[x^2/(x+1)]-(4x-4)/(6x+3)
对f(x)求导,有:f'(x)=[(x+2)/x(x+1)]+[1/(x+1/2)]^2
当x>2时,有f'(x)>0有f(x)在x>2时严格递增从而有
f(n)>=f(2)=ln(4/3)-4/15=0.02>0
即有ln[n^2/(n+1)]>(4n-4)/(6n+3)
原不等式等证
【解】：
∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] >e^((4n-4)/(6n+3))
∵n^2/(n^2-1)=n^2/(n+1)(n-1)
∴∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] = 2n/(n+1)
原式可化简为：2n/(n+1) >e^((4n-4)/6n+3))
构建函数：F(n)=2n/(n+1)-e^((4n-4)/(6n+3))
其一阶导数F’(n)={2-4e^((4n-4)/(6n+3))}/(n+1)^2
∵e^((4n-4)/(6n+3))
∴F’(n)>0 [n≥2]
而F[2]=4/(2+1)-e^((8-4)/(12+3))=4/3-e^(4/15)>0
所以F(n)>0 [n≥2]
即：2n/(n+1) >e^((4n-4)/6n+3))
故得证。
一、结合勘根定理，利用判别式“△”的特点构造函数证明不等式
例1 若a,b,c∈R，且a≠0，又4a+6b+c>0，a-3b+c<0.
求证：9b2>4ac.
证明 构造函数f(x),设f(x)=ax2+3bx+c(a≠0)，
由f(2)=4a+6b+c>0，
f(-1)=a-3b+c<0，
根据勘根定理可知：f(x)在区间(-1,2)内必有零点.
又f(x)为二次函数，由勘根定理结合可知：
f(x)必有两个不同的零点.
令ax2+3bx+c=0可知△=(3b)2-4ac>0,
所以可得：9b2>4ac.命题得证.
评析 本题合理变换思维角度，抓住问题本质，通过构造二次函数,将所要证明的结论转化成判别式“△”的问题,再结合勘根定理和二次函数知识，从而使问题获得解决.
二、结合构造函数的单调性证明不等式
例2 (人教A版《选修4-5不等式选讲》例题改编)已知a,b,c是实数，求证：
|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.
证明 构造函数f(x)，设f(x)=x1+x(x≥0).
由于f′(x)=1(1+x)2,所以结合导数知识可知f(x)在[0，+∞)上是增函数.
∵0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|,
∴f(|a+b+c|)≤f(|a|+|b|+|c|),
即|a+b+c|1+|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|1+|a|+|b|+|c|=|a|1+|a|+|b|+|c|+|b|1+|a|+|b|+|c|+|c|1+|a|+|b|+|c|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|.命题得证.
三、结合构造函数在某个区间的最值证明不等式
例3 (第36届IMO试题)
设a,b,c为正实数，且满足abc=1,求证:
1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.
证明 构造函数，设f(a,b,c)=1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b),显然a=b=c=1时，f(a,b,c)=32≥32成立.
又abc=1，a,b,c为正实数，则a,b,c中必有一个不大于1，不妨设0f(a,b,c)-f(a,1,c)=(1-b)1a3(b+c)(1+c)+1+b+b2b3(a+c)+1c3(a+b)(1+a)≥0,
∴f(a,b,c)≥f(a,1,c)，
因此要证f(a,b,c)≥32，只要证f(a,1,c)≥32，此时ac=1，
∴a,1,c成等比数列，令a=q-1，c=q(q>0).
f(a,1,c)=q31+q+qq2+1+1q2(1+q)?
=q5+1q2(1+q)+qq2+1?
=(q4+1)-(q3+q)+q2q2+qq2+1?
=(q2+q-2)-(q+q-1)+1q+q-1+1?
=t2-t+1t-1.(其中t=q+q-1，且t≥2).
由导数知识(方法同例2、例3)可知函数
f(a,1,c)=t2-t+1t-1(t≥2)是增函数，
当且仅当t=2?q=1?a=c=1时，
(f(a,1,c))min=22-2+12-1=32成立，
∴f(a,1,c)≥32.
故f(a,b,c)≥f(a,1,c)≥32.命题得证。
篇3：证明函数单调性的方法总结
1、定义法:
利用定义证明函数单调性的一般步骤是：
①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数． 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的.有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0， 则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式】相关文章： 1.函数单调性 8.函数极限的证明
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