全国初中数学联合竞赛试题分析
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篇1：全国初中数学联合竞赛试题分析
全国初中数学联合竞赛试题分析
本次初中数学联合竞赛试题偏易，没有什么很复杂的题目。多数考生反映考得比较好。
小题部分一如既往的重点考察了方程，不等式加入绝对值号或者取值范围或者结合图形的混合型题目（选择题1，2，3，4；填空题1，2，3）这些题里，看似对二次方程考察的并不太多，但标准答案中大量出现的x+y，xy变化都是由二次方程中韦达定理变化而来。所以考生要想在全国联赛中取得好成绩，代数里方程，不等式与绝对值，取值范围，几何图形的结合是重中之重。
小题余下的篇幅考察了组合（选择6，填空4）和平面几何（选择5），都比较中规中矩，受过充分训练的学生不难答出。
本次考试的大题出的耐人寻味，一，二两道题不太复杂，都只是数学解题思想的体现，第一题如果不积极化简，采用合乎形式的换元，会非常难做；第二题在数学图形上能比较容易的观察到对称性，但它的`证明却只能逆向出发，用同一法做。
第三题我认为直接用求根公式，讨论一个二次式开方，会来得更直接，更快。
从今年的命题来看，初中数学联合竞赛命题考察的侧重点已经稳定，小题着重考察代数知识综合运用，辅以组合知识考查。大题不会太复杂，着重于考察数学思想的综合运用。受过系统训练的学员只要平时多加注意，必然能取得优异的成绩！
篇2：全国高中数学联合竞赛一试试题A卷
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.设a,b为不相等的实数，若二次函数f(x)?x2?ax?b满足f(a)?f(b)，则f(2)的值为2.若实数?满足cos??tan?，则1?cos4?的值为sin?
3.已知复数数列{zn}满足z1?1,zn?1?zn?1?ni(n?1,2,3,?)，其中i为虚数单位，zn表示zn的共轭复数，则z的值为4.在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,边DC（包含点D,C）上的动点P与CB延长线上（包含
点B）的动点Q满足DP?BQ,则向量PA与向量PQ的数量积PA?PQ的最小值为
5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为
6.在平面直角坐标系xOy中，点集K?(x,y)(x?3y?6)(3x?y?6)?0所对应的平面区域的面积为
7.设?为正实数，若存在a,b(??a?b?2?)，使得sin?a?sin?b?2，则?的取值范围是
8.对四位数abcd(1?a?9,0?b,c,d?9)，若a?b,b?c,c?d，则称abcd为P类数，若a?b,b?c,c?d，则称abcd为Q类数，用N(P),N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数，则N(P)?N(Q)的值为??
二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9.（本题满分16分）若实数a,b,c满足2a?4b?2c,4a?2b?4c，求c的最小值.
10.（本题满分20分）设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得
31??aa1?i?j?4??24,?2,?,?,1,3?，求a1?a2?a3?a4的值.?ij??28??
x2
11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，F1,F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点，2
设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A,B，焦点F2到直线l的距离为d，如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.
全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
一、（本题满分40分）设a1,a2,?,an(n?2)是实数，证明：可以选取?1,?2,?,?n??1,?1?，使?????n2?得??ai?????iai??(n?1)??ai?.?i?1??i?1??i?1?
二、（本题满分40分）设S??A1,A2,?,An?，其中A1,A2,?,An是n个互不相同的有限集合
（n?2），满足对任意的Ai,Aj?S，均有Ai?Aj?S，若k?minAi?2.证明：存在x??Ai，1?i?ni?1nn2n2使得x属于A1,A2,?,An中的至少n个集合（这里X表示有限集合X的元素个数）.k?上一点，点K在线段AP上，使得三、（本题满分50分）如图，?ABC内接于圆O，P为BC
BK平分?ABC，过K,P,C三点的圆?与边AC交于D，连接BD交圆?于点E，连接PE并延长与边AB交于点F.证明：?ABC?2?FCB.（解题时请将图画在答卷纸上）
四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k：
(kn)!对任意正整数n，2(k?1)n?1不整除.
n!
篇3：全国高中数学联合竞赛一试试题A卷
高中数学联赛基本知识集锦
一、三角函数
常用公式
由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：
半角公式
sin?
2??1?cos2
cos?1?cos?
2??2
tan?1?cos?
2??1?cos??1?cos?sin?
sin??1?cos?
积化和差
sin?cos??1
2?sin??????sin??????
cos?sin??1
2?sin??????sin??????
cos?cos??1
2?cos??????cos??????
sin?sin???1
2?cos??????cos??????
和差化积
sin??sin??2sin???
2cos???
2
sin??sin??2cos??????
2sin2
cos??cos??2cos??????
2cos2
cos??cos???2sin??????
2sin2
万能公式
sin2??2tan?
1?tan2?
1?tan2
cos2???
1?tan2?
tan2??2tan?
1?tan2?
三倍角公式
sin3??3sin??4sin3??4sin60???sin?sin60???
cos3??4cos3??3cos??4cos60???cos?cos60???
二、某些特殊角的三角函数值
????????
三、三角函数求值
给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的.常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去
举个例子
2?4?6??cos?cos777
2?提示：乘以2sin，化简后再除下去。7求值：cos
求值：cos10??cos50??sin40?sin80?
来个复杂的
设n为正整数，求证22?sin
i?1ni?2n?1?2n?12n
另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲
四、三角不等式证明
最常用的公式一般就是：x为锐角，则sinx?x?tanx；还有就是正余弦的有界性。例
求证：x为锐角，sinx+tanx<2x
设x?y?z??
12，且x?y?z??
2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值。
注：这个题目比较难
数列
关于数列的知识可以说怎么学怎么有，还好我们只是来了解竞赛中最基本的一些东西，不然我可写不完了。?
1给递推式求通项公式
(1)常见形式即一般求解方法
注：以下各种情况只需掌握方法即可，没有必要记住结果，否则数学就变成无意义的机械劳动了。
①an?1?pan?q
若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，
若p≠1，则两边同时加上qq，变为an?1??p?1p?1?q?p?a??np?1????
显然是以a1?q为首项，p为公比的等比数列p?1
②an?1?pan?f?n?，其中f(n)不是常数
若p=1，则显然an=a1+?f?i?，n≥2
i?1n?1
若p≠1，则两边同时除以pn+1，变形为an?1anf?n???n?1nn?1ppp
n?1ana1n?1f?i?f?i??n?1?利用叠加法易得n???i?1，从而an?p?a1??i?pi?1ppi?1p??
注：还有一些递推公式也可以用一般方法解决，但是其他情况我们一般使用其他更方便的方法，下面我们再介绍一些属于数学竞赛中的“高级方法”。
(2)不动点法
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。典型例子：an?1?a?an?bc?an?d
注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了令x?a?x?b2，即cx??d?a?x?b?0，c?x?d
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有
11??pan?1?x1an?x1
其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=
若x1≠x2则有2ca?d
an?1?x1a?x1?q?n
an?1?x2an?x2
其中k可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=a?cx1a?cx2
(3)特征根法
特征根法是专用来求线性递推式的好方法。
先来了解特征方程的一般例子，通过这个来学会使用特征方程。
①an?2?pan?1?qan
特征方程为x2=px+q，令其两根为x1，x2
nn则其通项公式为an?A?x1，A、B用待定系数法求得。?B?x2
②an?3?pan?2?qan?1?ran
特征方程为x3=px2+qx+r，令其三根为x1，x2，x3
nnn则其通项公式为an?A?x1，A、B、C用待定系数法求得。?B?x2?C?x3
注：通过这两个例子我们应当能够得到特征方程解线性递归式的一般方法，可以试着写出对于一般线性递归式的特征方程和通项公式，鉴于3次以上的方程求解比较困难，且竞赛中也不多见，我们仅需掌握这两种就够了。
(4)数学归纳法
简单说就是根据前几项的规律猜出一个结果然后用数学归纳法去证。这样的题虽说有不少但是要提高不完全归纳的水平实在不易。大家应当都会用数学归纳法，因此这里不详细说了。但需要记得有这样一个方法，适当的时候可以拿出来用。
(5)联系三角函数
三角函数是个很奇妙的东西，看看下面的例子
an?1?2an21?an
看起来似乎摸不着头脑，只需联系正切二倍角公式，马上就迎刃而解。
注：这需要我们对三角函数中的各种公式用得很熟，这样的题目竞赛书中能见到很多。
例
数列?an?定义如下：a1?2，求?an?通项2，an?1?2?4?an
注：这个不太好看出来，试试大胆的猜想，然后去验证。
(6)迭代法
先了解迭代的含义
f0?x??x，f1?x??f?x?，f2?x??f?f?x??，f3?x??f?f?f?x???，??
f右上角的数字叫做迭代指数，其中f
再来了解复合的表示?n?x?是表示fn?x?的反函数
f?g?x??f?g?x??，f?g?h?x??f?g?h?x???
如果设F?x??g?1?f?g?x?，则Fn?x??g?1?fn?g?x?，就可以将求F(x)的迭代转变为求f(x)的迭代。这个公式很容易证明。使用迭代法求值的基础。
而在数列中我们可以将递推式看成an?1?F?an?，因此求通项和求函数迭代就是一样的了。我们尽量找到好的g(x)，以便让f(x)变得足够简单，这样求f(x)的n次迭代就很容易得到了。从而再得到F(x)的n次迭代式即为通项公式。
练习
?an?满足a1?1，a2?2，a2n?1?已知数列a2n?a2n?1，a2n?2?a2n?1a2n，试求数列的2
通项公式。
注：此题比较综合，需熟练掌握各种求通项公式的常用方法。
下面是我的一个原创题目
已知数列?an?满足a1?0，a2?1，an?1?n??an?an?1?，求该数列的通项公式。
2数列求和
求和的方法很多，像裂项求和，错位相减等等，这些知识就算单纯应付高考也应该都掌握了，这里不再赘述。主要写竞赛中应当掌握的方法——阿贝尔恒等式。
阿贝尔（Abel）恒等式
有多种形式，最一般的是
?ab??S?bkkk
k?1k?1nn?1k?bk?1??Snbn
其中Sk??a
i?1kk
注：个人认为，掌握这一个就够了，当然还有更为一般的形式，但是不容易记，也不常用。
篇4：全国高中数学联合竞赛一试试题A卷
全国高中数学联赛试题
一、填空题
1、若正数a,b2?log2a?3?log3b?log(a?b),则
11
?的值为__________ab
2、设集合{?b|1?a?b?2}中的最大值与最小值分别为M,m，则M?m=_________3、若函数f(x)?x2?a|x?1|在[0,??)上单调递增，则a的取值范围为_______4、数列{an}满足a1?2,an?1?
3a
2(n?2)a2014
an(n?N?)，则=_________n?1a1?a2?...?a
5、已知正四棱锥P?ABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,BC的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是_____________
6、设椭圆?的两个焦点是F1,F2，过点F1的直线与?交于点P,Q，若|PF2|?|F1F2|，且
3|PF1|?4|QF1|，则椭圆?的短轴与长轴的比值为__________
7、设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I。若点P满足PI?1，则?ABC与
?APC的面积之比的最大值为__________8、设A,B,C,D是空间四个不共面的点，以
1
的概率在每对点之间连一条边，任意两点之2
间是否连边是相互独立的，则A,B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________
二、解答题
P是不在x轴上一个动点，9、平面直角坐标系xOy中，满足条件：过P可作抛物线y?4x
的两条切线，两切点连线lP与PO垂直。设直线lP与PO，x轴的交点分别为Q,R，（1）证明：R是一个顶点（2）球
2
|PQ|
的最小值|QR|
10、数列{an}满足a1?
?
,an?1?arctan(secan)(n?N?)求正整数m，使得
6
sina11sina2......sianm?
100
11、确定所有的复数?，使得对任意的复数z1,z2(z1??)2??z1?(z1??)2??z2
|z1|,|z2|?1,z1?z2），均有
（
2014全国高中数学联赛二试
一、（本题满分40分）设a,b,c?R，满足a?b?c?1，abc?0，
求证：bc?ca?ab?
abc1
?24
篇5：初二全国数学竞赛试题
数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。
本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的'。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。
《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。
篇6：历届全国初中数学联赛试题
历届全国初中数学联赛试题
一、选择题:（每小题7分，共计42分）
1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（ ）
（A）a＞b a2＞b2; (B)a≠b a2≠b2; (C)|a|＞b a2＞b2; (D)a＞|b| a2＞b2
2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）
（A）0 (B) 3 (C) 22005 (D)322005
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为 正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块。
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22
4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（ ）
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1
5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（ ）
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个
6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的`图像的对称轴，则有（ ）
（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0
二、填空题:（每小题7分，共计28分）
1、已知：x为非零实数，且 = a, 则 =_____________。
2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC = _________.
4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如:3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__个。
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。
四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。
五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y=a+c－b ,z= b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x2=y , =2,试求积abc的所有可能的值。
参考解答及评分标准
一、选择题（每小题7分，共计42分）
1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C
二、填空题 （每小题7分，共计28分）
1、a2－2 2、3、45° 4、12
三、解：∵原点是线段AB的中点 点A和点B关于原点对称
设点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（Da，Db）……5分
又 A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：
…………………………10分
解之得： a = 1 , b = 4 或者a = －1 ,b = －4…………………15分
故 A为（1，4），B为（-1，-4） 或者 A（-1，-4），B（1，4）.……20分
四、解：如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4
∴ΔCDE∽ΔCAD
∴ ① ………………5分
又∵ΔADE∽ΔBDA
∴ ② ………………10分
由①、②及AB=AC，可得AE=CD …………15分
又由ΔCDE∽ΔCAD可得 ，即AE2=CD2=CECA …………20分
设AE=x，则CE=d－x ，于是 x2=d(d－x)
即有AE = x = （负值已舍去） ……………………25分
五、解：∵a+b－c=x, a+c－b=y, b+c－a =z ,
∴a= , b= , c= …………………5分
又∵ y=x2 ,
故 a= ---(1);
b= -----(2)
c= ----(3)
∴x= ---------------(4)
∵x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数。 ………………10分
于是，2a= ，其中a是质数，故有 =2, =a
∴T=5,a=3 ……………………15分
将a=3代入（4） 得 x=2或－3.
当x=2时，y=x2=4,
因而 －2=2， z=16 ，
代入（2）、（3）可得b=9 ，c=10，
与b、c是质数矛盾，当舍去。 ……………………20分
当x=－3时，y=9 . －3=2,
∴z=25
代入（2）、（3）可得 b=11，c=17
∴abc=3×11×17=561 ……………………………25分
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