椭圆的性质课件

“闪电躲避小狗”通过精心收集，向本站投稿了13篇椭圆的性质课件，下面是小编为大家整理后的椭圆的性质课件，仅供大家参考借鉴，希望大家喜欢!

篇1：椭圆的性质课件

椭圆的性质课件

教学内容解析

“椭圆的简单几何性质”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（选修2—1）中的第二章第二节第一课时的内容。解析几何是高中数学重要的分支，是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科。

本课是在学生学习了曲线与方程、椭圆的定义和标准方程的基础上，根据方程研究椭圆的几何性质。椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上。研究椭圆几何性质的过程中，几何直观观察与代数严格推导互相结合，处处是形与数之间的对照//翻译和互相转换，这也正是辩证法的反映。

方程研究曲线性质，即用代数方法解决几何问题，将对复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的分析，代数方法可以程序化地进行运算，代数法研究曲线的性质有较强的规律性， 这也正是创立解析几何的最直接目的。

教学重点：椭圆的简单几何性质；用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围及对称性。

教学目标设置

（1）学生通过先对给定具体椭圆方程研究，然后对一般椭圆标准方程的共同探究，使其对给定标准方程的椭圆，能说出其范围、对称性//顶点坐标和离心率等性质；

（2）通过方程和图形的转化与认识，感受椭圆性质的几何意义，能够清晰解释椭圆标准方程中a，b，c，e的几何意义及其相互关系；

（3）通过解析法研究对椭圆性质的运用，使学生感受用代数方法研究几何问题的思想，能初步运用方程研究相应曲线的简单几何性质。

学生学情分析

学生已有认知基础：学生学习了曲线与方程，已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生用函数图像研究过相应函数的性质，有用方程求直线和圆的特殊点的经历。

达成目标所需认知基础：解析法的数形结合思想和解析法的步骤；利用方程形式特点，推导相应曲线的性质。

教学难点及突破策略

1.本节课的教学难点

（1）用方程研究椭圆的范围和对称性；

（2）离心率的引入。

2.突破策略

（1）用方程研究椭圆的范围时，教师引导学生注意观察方程形式特点，学生独立思考与小组合作相结合；

（2）研究对称性时，教师引导学生注意观察方程形式特点，并回归图形对称的定义；

（3）离心率引入时，设置明确而开放的问题，引发学生思考，结合几何画板动态演示。

教学策略分析

1.为了充分调动学生学习数学的积极性，促进学生主动思考，采用问题串引导探究式法，活动和探究相结合，以问题作先行者，诱发学生积极思考；

2.利用现代教育手段，关注教学内容与现代教育手段的合时及合理整合。学生实物投影展示和板演相结合，利用几何画板软件感受动态过程，提高课堂效益；

3.在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重、难点。

教学过程

1．回顾引入

（1）知识回顾。

【设计意图】

（1）让学生在作曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点。

（2）学生联系到函数描点法作图时，认识到函数和方程的区别与联系，有利于学生更好地理解数学知识间的关系，但此处不作为教学重点。

该椭圆关于x轴和y轴轴对称，是不是所有椭圆都关于x轴和y轴轴对称？所有椭圆是不是都有两条对称轴？同样的'，是不是所有的椭圆都像该椭圆一样都关于原点中心对称呢？是不是所有的椭圆都有一个对称中心呢？

以上问题均有学生作答。最终总结出椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

【设计意图】用代数法判断对称性具有一定难度，教师适当引导，突出“任意取一点”。学以致用能让学生体会到利用方程判断曲线对称性的好处。研究该椭圆对称性时，指出一般椭圆的对称性，体现特殊与一般的区别。

探究3

师：研究曲线上某些特殊点，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的

位置，这常常需要求出其与x轴和y轴的交点坐标。

问题1：该椭圆与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？

指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x轴和y轴为该椭圆的对称轴，椭圆与坐标轴的4个交点为椭圆的顶点。

问题2：椭圆的顶点如何定义？

预案：学生可能会回答椭圆与x轴和y轴的交点称为椭圆的顶点。

【设计意图】让学生理解研究特殊点的意义；明确特殊与一般的区别

收集有关笛卡儿与解析几何，费马与解析几何的资料，结合本节课学习，

写一篇小论文。

【设计意图】理清知识结构，关注探究过程中的活动体验；加强课堂中数学思想和数学文化的渗透。

5.分层作业

必做：教材第48页练习2，3，4，5。

选做：教材第49页习题2.2，A组：9。

【设计意图】必做题为椭圆几何性质的应用；选做题需用方程研究椭圆性质。

教学反思

本课是在学生学习了曲线与方程、椭圆的定义和标准方程的基础上，根据方程研究椭圆的几何性质。椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

1.创设合理问题情境

指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x轴和y轴为该椭圆的对称轴，椭圆与坐标轴的4个交点为椭圆的顶点。

问题2：椭圆的顶点如何定义？

预案：学生可能会回答椭圆与x轴和y轴的交点称为椭圆的顶点。

在离心率的引入中，笔者之前的问题是椭圆的扁平程度不一，用什么量可以刻作椭圆的扁平程度？现在问题是用a，b，c中的哪两个量的比值可以刻作椭圆的扁平程度？问题更加明确和开放，同时也更有价值。

在以问题串引领的四次探究中，学生独立思考与小组合作相结合，通过多种方法探求椭圆的范围，使学生既经历了用方程研究曲线性质的过程，又理解了数学知识间的密切联系；通过方程判断曲线对称性使学生体会到解析法的好处；离心率的引入既开放又明确，使学生理解得更加自然透彻。

3.及时反馈增进知识理解

例题教学是数学课堂中重要的环节，是把知识，技能和思想方法联系起来的一条纽带。笔者注重学生对习题的规范解答，鼓励学生从多个角度发现和解决问题，同时也注意引导学生关注不同方法的区别与联系；在课堂总结环节中，不但要引导学生理清知识结构，关注探究过程中的活动体验，更要加强在课堂中对数学思想和文化的渗透。

4.多媒体合理应用

在探究过程中，笔者用幻灯片及时地展示出图形和问题；学生的探究结果用投影仪清晰直接地展示，提高了课堂效率；离心率引入时，用几何画板软件动态演示，学生理解得更形象生动。

篇2：椭圆几何性质

（1）学习目标：①熟悉椭圆的几何性质（对称性，范围，顶点，离心率）②理解离心率的大小对椭圆形状的影响③能利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程知识要点：方程图形范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-b≤x≤b,-a≤y≤a对称性关于x轴，y轴，原点关于x轴，y轴，原点顶点a1（-a，0）a2（a，0）b1（0，-b）b2（0，b）a1（0，-a）a2（0，a）b1（-b，0）b2（b，0）离心率e=                       [导学提示]1、试完成下列几题：   （1）请同学们通过看书说明椭圆的几何性质有哪些？（2）通过 说明椭离心率与椭圆形状的关系。（3）请同学说出椭圆的标准方程与圆的标准方程的区别。［课堂指导］1、        总结：椭圆的几何性质并说明椭圆的离心率与椭圆形状的关系。2、椭圆何性质的应用（例题精讲）例1.求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形.    例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程:①经过点p（-3，0），q（0，-2）；②长轴的长等于20，离心率等于     aboxy例3.如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）f2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点a（离地面最近的点）距地面439km，远地点b（离地面最远的点）距地面2384km，并且f2、a、b在同一条直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨迹方程（精确到1km）.  [随堂训练]1.求适合下列条件的椭圆的标准方程①a=6， 焦点在x轴上 ;②c=3， ，焦点在y轴上. 2.下列各组椭圆中，哪一个更接近于圆？①9x2+y2=36与   ②x2+9y2=36与 3.椭圆 与 的关系为   （   ）a.有相同的长、短轴  b.有相等的焦距  c.有相同的焦点  d.以上均不对4.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则其方程为  （  ）a.   b.   c.   d. ［课后扩展］1.椭圆的一焦点与长轴较接近端点的距离为 ，焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求椭圆的方程.    2.已知椭圆在x轴，y轴正半轴上的两顶点分别为a、b，原点到直线ab的距离等于 ，又该椭圆离心率 ，求其方程.

篇3：幼儿园椭圆课件资料

幼儿园椭圆课件资料

活动目标：

1．认识椭圆形，能在生活中辨认出含有椭圆形的物品

2．在操作中感知椭圆形的基本特征

3．体验操作活动的乐趣

活动准备：

1．手偶和神秘袋各一个

2．几何图形正方形 三角形 半圆形 圆形 椭圆形以及相应的字卡

3．图形的房子和小图形卡片

4．实物大枣 鸡蛋 柠檬 橙子 西瓜等椭圆形物品

5．含有椭圆形的物品图片一张

6．椭圆形和圆形的卡片幼儿每人一份

7．操作题—画有大小不同的椭圆形和圆形幼儿每人一份

活动课程实录：

一．集体操作

1．复习几何图形，出示手偶，“小朋友们，你们好！我是圣诞老人，今天来到你们班，是要给小朋友们送一份礼物。”

师出示神秘袋，故作猜疑：“会是什么礼物呢？”师从袋中依次拿出正方形和三角形，请个别幼儿说说正方形和三角形的基本特征，出示字卡“正方形”“三角形”引导幼儿认读。

师把手伸进神秘袋，描述袋内礼物的特征引导幼儿猜猜是什么图形？“这个礼物有一条直直的线和一条弧线组成，引导幼儿说出“半圆形”出示相应的字卡引导幼儿认读。

出示圆形时同上，师通过操作，引导幼儿感知同样大小的两个半圆形可组成一个圆形。

2．游戏：送图形宝宝回家

创设情境：图形宝宝们迷路了，想要回家，请幼儿帮帮他们，送他们回家，谁愿意做一个有爱心的孩子？幼儿有秩序操作。

小结：图形宝宝都回到自己的家了，他们很高兴，要谢谢这些有爱心的好孩子们，还想跟你们做好朋友，你们真棒！

3．认识椭圆形

出示椭圆形卡片，引导幼儿园观察，说出名字，师出示相应的字卡，引导幼儿认读。

出示实物，引导幼儿观察：“今天老师还给小朋友带了许多你们喜欢吃的有营养的物品，让我们来看看他们的都是什么形状的？”通过观察加深幼儿对椭圆形的认识。

出示含有椭圆形物品的图片（糖果 气球 镜子 盘子 仙人掌等）请幼儿从图中找出椭圆形复习巩固对椭圆形的认识。

讨论：你们平时还见过什么物品是椭圆形的呢？

4．区别圆形和椭圆形

讨论：“椭圆形和我们今天复习的哪个图形相似呢？

分组操作 圆形和椭圆形的相似之处和不同点。

小结：圆形是圆圆的，光滑的没有棱角，椭圆形是扁扁的，光滑的没有棱角。

分组操作 幼儿从含有椭圆形和圆形的.图中找出大小不一的椭圆形并涂上喜欢的颜色。

5．交流小结

区角活动：

教师自评： 本次活动的设计，我通过情境表演，实物，图片，游戏以及分组操作等不同的方式，激发幼儿的兴趣，复习巩固几何图形加深对椭圆的认识的，同时还能激发幼儿的观察能力和思维想象力。在本次的活动中，幼儿思想活跃，积极性强，各方面都得到了很好的发展。

园长点评： 本次活动中，老师的教学环节多样化能够吸引住孩子，通过分组操作，引导幼儿便于理解椭圆形和圆形的不同，通过讨论，观察等方式激发幼儿观察周围的事物，想象周围的事物，多种的操作活动中让幼儿感知椭圆形的外形特征，很好的达到了教育的目的。

篇4：椭圆的简单几何性质教案

椭圆的简单几何性质教案

届高三数学椭圆的简单几何性质

2.2椭圆的简单几何性质

教学目标：

(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;

(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;

(3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.

教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图

教学难点:椭圆离心率的概念的理解.

教学方法：讲授法

课型：新授课

教学工具：多媒体设备

一、复习：

1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.

2.椭圆的标准方程.

二、讲授新课：

（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.

[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]

已知椭圆的标准方程为：

1.范围

[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x，y的范围就知道了.]

问题1 方程中x、y的取值范围是什么?

由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式

≤1, ≤1

即 x2≤a2, y2≤b2

所以 |x|≤a， |y|≤b

即 －a≤x≤a, －b≤y≤b

这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。

2.对称性

复习关于x轴， y轴，原点对称的点的坐标之间的关系：

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x, y)；

点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；

问题2 在椭圆的标准方程中①以－y代y②以－x代x③同时以－x代x、以－y代y,你有什么发现?

（1） 在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。

（2） 如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。]

（3） 如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称。]

归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？

椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。

这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]

椭圆的对称中心是什么？[原点]

椭圆的对称中心叫做椭圆的`中心。

3.顶点

[研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置，常常需要求出曲线与x轴，y轴的交点坐标.]

问题3 怎样求曲线与x轴、y轴的交点?

在椭圆的标准方程里，

令x=0,得y=±b。这说明了B1(0,－b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。

令y=0,得x=±a。这说明了A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。

线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)

观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长半轴长，即 |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a

在Rt△OB2F2中，由勾股定理有

|OF2|2=|B2F2|2－|OB2|2 ，即c2＝a2－b2

这就是在前面一节里，我们令a2－c2＝b2的几何意义。

4.离心率

定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝ ，叫做椭圆的离心率。

因为a>c>0,所以0

问题4 观察图形,说明当离心率e变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?

[调用几何画板，演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响]

得出结论：(1)e越接近1时，则c越接近a，从而b越小，因此椭圆越扁；

(2)e越接近0时，则c越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合于椭圆的中心，图形变成圆。

当e＝1时，图形变成了一条线段。[为什么？留给学生课后思考]

5.例题

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.

[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长2b，该方程中的a＝？b＝？c＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]

解：把已知方程化为标准方程 , 这里a＝5，b＝4，所以c＝ ＝3

因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8

离心率e＝ ＝

两个焦点分别是F1(－3,0),F2(3,0)，

四个顶点分别是A1(－5,0) A1(5,0) A1(0,－4) F1(0,4).

[提问：怎样用描点法画出椭圆的图形呢？我们可以根据椭圆的对称性，先画出第一象限内的图形。]

将已知方程变形为 ，根据

在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y)

x 0 1 2 3 4 5

y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图）

说明：本题在画图时，利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性。

根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：

(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

(3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。

[画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性]

（四）练习

填空：已知椭圆的方程是9x2+25y2=225,

(1) 将其化为标准方程是_________________.

(2) a=___,b=___,c=___.

(3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.

椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e＝_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______.

例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)经过点(-3,0)、(0,-2);

(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6

例3 点 与定点 的距离和它到直线 的距离之比是常数 ，求点 的轨迹.

（教师分析――示范书写）

例4、如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面） 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知AC^F1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在椭圆的方程。

三、课堂练习：

①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

⑴ 与 ⑵ 与 （学生口答，并说明原因）

②求适合下列条件的椭圆的标准方程.

⑴经过点

⑵长轴长是短轴长的 倍，且经过点

⑶焦距是 ，离心率等于

（学生演板，教师点评）

焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.

四、小结

(1)理解椭圆的简单几何性质，给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;

(2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;

(3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.

五、布置作业

课本习题2.1 的6、7、8题

课后思考：

1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方？

2、点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：x= 的距离的比是常数 （a＞c＞0），求点M轨迹，并判断曲线的形状。

3、接本学案例3，问题2，若过焦点F2作直线与AB垂直且与该椭圆相交于M、N两点，当△F1MN的面积为70时，求该椭圆的方程。

篇5：椭圆的简单性质教学反思

上完《椭圆的简单性质》这节课后，我认真地进行了反思，具体内容如下：

一、教学设计

本着“学生是课堂的主体，教师是引导者，结合教材的特点和学情，让学生在课堂上真正动起来，充分发挥学生的主观能动性，切实激发学生的学习兴趣，通过学案让学生独立思考、小组合作探究”的原则，我进行了如下教学设计：

1、复习回顾：

（1）椭圆的定义

（2）椭圆的标准方程

（3）椭圆中a、b、c的关系

从学生作业中不规范的作图而导入本节课的题目。

2、展示学习目标

（1）能根据椭圆的图形及标准方程推断出椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质.

（2）通过观察能清晰描述离心率的变化对椭圆形状的影响.

（3）能用椭圆的'简单性质求椭圆标准方程.

3、探索新知：

（1）通过学生小组合作完成学案，体会椭圆的对称性、范围、顶点及相关概念，初步通过几何图形及方程两种方法掌握椭圆的性质；

（2）通过观察图形，和几何画板动态的演示让学生了解影响椭圆“圆扁”程度的是哪几个量，给出离心率的概念；

（3）归纳焦点在x轴上的椭圆的简单性质；

（4）学生通过类比得到焦点在y轴上的椭圆的性质；

（5）通过例题巩固所学。

4、小结

二、成功之处

1、教学方法上：结合本节课的具体内容，和1班学生的具体情况确立小组合作探究式教学，体现了合学教育的基本理念.

2.学习的主体上：设计问题引领各小组积极参与，给各小组的主动参与提供时间和空间，让组内不同层次的学生勇于发表自己观点，基本做到：凡是学生能够自己观察的、讲的、思考探究的、动手操作的，都尽量让学生自己去做，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体.进而完成知识的转化，变书本的知识为自己的知识.

3.学生参与度上：课堂教学真正面向全体学生，让每个学生都享受到发展的权利.在我的启发鼓励下，让学生充分参与进来，进行交流讨论，共同进步.

4、“三维”课程目标的实现上：既关注掌握知识技能的过程与方法，又关注在这过程中学生情感态度价值观形成的情况.

5、学法指导上：采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题，进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围.

6、信息技术的运用上：利用几何画板动态演示椭圆的圆扁程度，给学生以直观感受；充分利用几何画板的度量功能，让学生能够轻松的发现椭圆a不变时c的变化影响椭圆的圆扁程度，降低了教学难度，学生易于接受.

三、不足之处

1．本节课课堂容量虽不大，但给学生独立思考和合作探究的时间稍长，导致课堂后段时间比较紧张。因此今后要合理地安排每一节课的课堂讨论时间，以提高课堂的效率。

2．过高估计学生的能力，小组合作讨论完成椭圆的性质时没能达到预期效果，计划是简单的自主独立完成，方程证明（代数法）小组合作完成。互教互学，共同进步，并从中体会解决问题的成就感，从而增进学生的合作意识和团队精神，但是因为班上只有一小部分同学基础比较扎实，大部分同学的计算能力不过关，只有一个小组完成较好，其他均都有不同程度的问题。

3．可以听取白老师和崔老师的建议：将学案作为检验学生对椭圆简单性质掌握的测试题，这样既节约时间，又能检测学生的掌握情况。或者能将小组合作问题提前让学生预习，学生在课下就进行研究，并找到自己解决不了的地方，课上小组解决，教师指导，应该会有好的效果。

总之，在本次教学中我认为：问题引领学生自主探究，带着问题进入课堂，教师在课上点拨学生主要问题，强调重点问题，并可以进行拔高。这样既可以使学生动起来，由被迫获取变为主动学习，通过课前自主学习，课上小组相互学习，教师点拨，足以将知识很好的掌握，这样也可以使教师从总是不放心中解脱出来，不用总是面面俱到的讲，学生会的不讲，学生可以突破的不讲，只讲学生疑惑的难以解决的问题，从而使课堂高效，并且学生也不用一直听一直听，听觉疲劳，然后昏昏欲睡。但是要进行这样的课堂，学生课前学习的时间必须保证，学生的主动性要充分调动，并且应有合理的奖惩办法让学生全员参加，避免一些学生滥竽充数.作为教师课前预设的问题一定要有梯度，有层次，适合学生思维发展规律。以上是我的一些小小想法，我会努力去尝试，不断地学习，使学生爱上数学，爱上学数学。

篇6：《椭圆的简单几何性质》知识点总结

椭圆的简单几何性质中的考查点:

（一）、对性质的考查：

1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。

2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。

3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。

4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。

（二）、课本例题的变形考查：

1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；

2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。

3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。

4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：

5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。

篇7：《椭圆的简单几何性质》听课实录

在预习教材中的例 4 的基础上，证明：若 分别是椭圆 的左、右焦点，则椭圆上任一点 p （ ）到焦点的距离（焦半径） ，同时思考当椭圆的焦点在 y 轴上时，结论如何？（此题意图是引导学生去进一步探究，为进一步研究椭圆的性质做准备）

本堂课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。由教师点拨、指导，学生研究、合作、体验来完成。

本节课借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。例如导入，通过“神州五号”这样一个人们关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣。再如，这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，在课前设计中改变了教材原有研究顺序，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，从观察到对称性这一宏观特征开始研究，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验几何性质的形成与论证过程，变静态教学为动态教学。在研究范围这一性质时，课前设计中，只要学生能根据不等式知识解出就可以了，但学生采用了多种方法研究，这时教师没有打断他的思路，而是引导帮助他研究，鼓励学生创新，从而也实现了以学生为主，为学生服务。

在离心率这一性质的教学中，充分利用多媒体手段，以轻松愉悦的动画演示，化解了知识的难点。

但也有不足的地方：在对具体例子 的观察分析中，设计的问题过于具体，可能束缚了学生的思维，还没有放开。还有就是少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。

感悟：新课堂是活动的课堂，讨论、合作交流可课堂，德育教育的课堂，应用现代技术的课堂，因此新教育理念、新课改下的新课堂需要教师和学生一起来培育。

篇8： 《椭圆的几何性质》教学反思

20xx年xx月，我在江苏连云港新海高中上了一节《椭圆的几何性质》公开课。这节课 从准备，到与组内老师探讨、交流，并修改、上课，直至最后聆听各位老师和专家的 指导，都让我受益非浅。

本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1―1第二章第二节的内容，它是在学完椭圆的标准方程的基础上，通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质。利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务。 通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同时也为下一步学习双曲线和抛

物线的性质做好了铺垫。本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进行的。因此，依教材的地位与作用及教学目标，将之确定为本节课的重点；又因为学生第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质，学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘手，所以我将之确定为本节课的难点。

然而，课后的反思过程中我发现了几个问题：第一，在讲解“顶点”定义时，单纯定义为椭圆与坐标轴的交点，没把握住顶点的重要特征，即“顶点是椭圆与其对称轴的交点”，如果把握住这一点，在讲解时就应先讲“对称性”，再讲“顶点”；二是本节课对几何性质的导入，是由学生回顾上节所讲特征三角形的三边与的大小关系开始的，而多数人对特征三角形的记忆是很模糊的，上节课在这个知识点上学生吸收的并不好，如果把它放在本节课“顶点”之后再讲解，会显得更自然一些；三是“对称性”的讲解过于单薄，学生既然很快就观察出了这个性质，何不趁热打铁，再从代数的角度证明一下呢？过于避重就轻的做法不利于对学生数学思维能力的培养。以上的几点不足都提醒我今后要在研究教材上下更多的功夫。

还有在讲解完“对称性”、准备讲“离心率”之前，我穿插了一道“画椭圆的简图”的题目。并提圆相似吗？椭圆呢？引起了同学们注意。这道题起到了较好的承上启下的作用：既巩固了刚学的性质，又引发了一个问题：椭圆的“扁”的程度与哪些要素有关。大多数学生通过所画的两个椭圆长轴相同、短轴不同，从而“扁”的程度不同，很自然地回答这与有关，圆的形状是完全相同的，而椭圆的形状是否完全相同？如何刻画椭圆的“圆扁”度呢？

学生自主探究（预设：可以创造错误认识，a越大越扁？b越大越圆？联想椭圆定义 当2a定时，焦点逐渐靠近顶点，椭圆会怎么样？焦点逐渐靠近中心，又会怎么样？）

切入事先准备好的几何画板展示，固定长轴，移动交点，看变化。 教师通过多媒体展示椭圆随着离心率逐渐接近0越圆而越接近1而越扁的动画

过程。 e越大，椭圆越扁，越小越圆。讲清楚e是一个比值圆扁度用什么刻画？ 为什么不b用。 a此外，在以下几个方面我还需要进一步改进：一是课堂的节奏还要稍微慢一点，比如对焦点在轴时椭圆的几个性质的给出，都是师提问生齐答，在这个过程中不少反应慢一点的同学没有足够的时间去思考，被忽略掉了，而如果把这个环节换成小组合作学习、讨论交流的方式来进行，放手把主动权交给学生，效果可能会更好，也更符合新课改的理念。二是教学语言还需要不断锤炼，因为数学老师的语言是否准确、精炼，会对学生的逻辑思维产生潜移默化的影响，要力图用清晰优美的语言艺术去感染学生。

比较过去自己曾经历过的刻板、严肃的灌输式教学，现在更提倡多给学生一点爱，让学生积极地参与到课堂活动中来；同时老师要做有效课堂的引导者，不断优化教学策略，教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探索过程中去，是否能够达到掌握知识，提高能力的目的是否收到了理想的教学效果。教学过程中要尊重学生的自我发现，多角度的给学生以鼓励和肯定。

我会以此为契机，在平日的教学实践中不断思考和创新，不断成长和进步！

篇9： 《椭圆的几何性质》教学反思

椭圆的简单几何性质的重点是性质，难点是应用。椭圆的简单几何性质的知识是解析几何中一个重要内容，是训练学生逻辑思维，发展空间想像能力，提高分析和解决问题能力等的又一重要素材。 新课开始，先复习椭圆定义和方程，然后结合图形观察分析得出椭圆有性质（范围、对称性、顶点、离心率、准线）。

当然，要真正掌握性质并灵活应用，适当的训练是必不可少的。由于椭圆的简单几何性质安排了六节数学课，还有足够的时间来开展反馈环节。课本后面的练习及习题比较多，其中习题的第5题及9题难度较大。对于比较简单的习题，基本上由学生独立完成，当然学生解题的时间必须要保证。而对于比较难的第5及9题，采取创设问题情境，注重启发艺术，体现“低起点、小步子、及时反馈”的教学原则，让尽可能多的学生思维和积极性得到最大的挑战和提高。当然，教学永远是一门遗憾的艺术，教学境界是无止境的，“启而不发，引而不导”是一个不断完善的操作过程。

对于习题的教学，如何提升习题的潜在价值，如何让学生得到最大的收获，这是我们每天面对和思考的焦点。在教学过程中几乎花了一节课的时间开展习题教学，由于自己一直担心时间的紧张，学生的主体性没有得到有效体现，进而数学思维及能力缺少了锤炼的机会。这部分的缺陷，将在今后的教学中找时间来给学生补上，不过这是在教学中应注意的，将要要求自己在今后的教学中尽量做到最好。

篇10：《椭圆的几何性质1》教学反思

近期,我开设了一节公开课《椭圆的几何性质1》。在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上45分钟的学习效率，是一个很重要的课题。要教好高中数学，首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。课堂教学是实施高中新课程教学的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道。课堂教学不但要加强双基而且要提高智力，发展学生的智力，而且要发展学生的创造力；不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学。尤其是在课堂上，不但要发展学生的智力因素，而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率，在有限的时间里，出色地完成教学任务。

一、要有明确的教学目标

教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。备课时要依据教材，但又不拘泥于教材，灵活运用教材。在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。

二、要能突出重点、化解难点

每一堂课都要有教学重点，而整堂的教学都是围绕着教学重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。尤其是在选择例题时，例题最好是呈阶梯式展现，我在准备例2时，就设置了三个小题，从易到难，便于学生理解接受。

三、要善于应用现代化教学手段

在新课标和新教材的背景下，教师掌握现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切。现代化教学手段的显著特点：一是能有效地增大每一堂课的课容量；二是减轻教师板书的工作量，使教师能有精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；三是直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容，学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。在课堂教学中，对于板演量大的内容，如解析几何中的一些几何图形、一些简单但数量较多的小问答题、文字量较多应用题，复习课中章节内容的总结、选择题的训练等等都可以借助于投影仪来完成。

四、根据具体内容，选择恰当的教学方法

每一堂课都有规定的教学任务和目标要求。所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法。这节课是高三的复习课，我采取了让学生自己回忆讲述椭圆的几何性质，教师补充的方法，改变了传统的教师讲，学生听的模式，调动了学生的积极性。在例题的解决过程中，我也尽量让学生多动手，多动脑，激发学生的思维。此外，我们还可以结合课堂内容，灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。在一堂课上，有时要同时使用多种教学方法。“教无定法，贵要得法”。只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，都是好的教学方法。

五、关爱学生，及时鼓励

高中新课程的'宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，要及时加以总结，适当给予鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。在教学过程中，教师要随时了解学的对所讲内容的掌握情况。如在讲完一个概念后，让学生复述；讲完一个例题后，将解答擦掉，请中等水平学生上台板演。有时，对于基础差的学生，可以对他们多提问，让他们有较多的锻炼机会，同时教师根据学生的表现，及时进行鼓励，培养他们的自信心，让他们能热爱数学，学习数学。

六、切实重视基础知识、基本技能和基本方法

众所周知，近年来数学试题的新颖性、灵活性越来越强，不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上，认为只有通过解

决难题才能培养能力，因而相对地忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。教学中急急忙忙把公式、定理推证拿出来，或草草讲一道例题就通过大量的题目来训练学生。其实定理、公式推证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律，教师没有充分暴露思维过程，没有发掘其内在的规律，就让学生去做题，试图通过让学生大量地做题去“悟”出某些道理。结果是多数学生“悟”不出方法、规律，理解浮浅，记忆不牢，只会机械地模仿，思维水平较低，有时甚至生搬硬套；照葫芦画瓢，将简单问题复杂化。如果教师在教学中过于粗疏或学生在学习中对基本知识不求甚解，都会导致在考试中判断错误。不少学生说：现在的试题量过大，他们往往无法完成全部试卷的解答，而解题速度的快慢主要取决于基本技能、基本方法的熟练程度及能力的高低。可见，在切实重视基础知识的落实中同时应重视基本技能和基本方法的培养。

七、渗透教学思想方法，培养综合运用能力

常用的数学思想方法有：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等。这些基本思想和方法分散地渗透在中学数学教材的条章节之中。在平时的教学中，教师要在传授基础知识的同时，有意识地、恰当在讲解与渗透基本数学思想和方法，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识，培养能力的目的，只有这样。学生才能灵活运用和综合运用所学的知识。

篇11：分式及其基本性质课件

分式及其基本性质课件

分式及其基本性质课件

学习目标：

1、了解分式和有理式的概念，明确分式与整式的区别；

2、能用分式表示现实情景中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感。

学习重点：

分式的概念

学习难点：

分式概念的理解

学习过程

1、学习准备

1、举例谈谈分数的意义。

2、举例说明分数线的作用。

2、合作探究

1、问题1 有块稻田，第一块是4hm2，每公顷收水稻10500kg；第二块是3hm2，每公顷收水稻9000kg，这两块稻田平均每公顷收水稻 kg。

如果第一块是mhm2，每公顷收水稻akg；第二块是nhm2，每公顷收水稻bkg，则这两块稻田平均每公顷收水稻 kg。

问题2 一件商品售价x元，利润率为a%（a>0），则这种商品的`成本是元。

观察上面代数式： ， ， ，它们有什么特征？和整式比较有什么不同？

2、你能写出几个和上面代数式类似的例子吗？

结合分数定义和p87分式定义，了解分式的概念。

整式和分式统称为有理式。

3、练习：下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？

4、思考：

（1）我们知道分数中分母不能为零。同样，分式中的分母的值也不能为零，否则分式就没有意义。要保证分式有意义，则必须分母不能为零。

（2）分式的值在什么情况下为0？

5、例题

例1（1）当x取何值时，分式 有意义？

（2）当x取什么值时，分式 的值有意义？

（3）讨论：当x取什么值时，分式 的值O？

6、练习：

（1）一箱苹果售价a元，箱子与苹果总质量为mkg，箱子质量为nkg。每千克苹果的售价为多少元？

（2）当x取什么值时，分式 有意义？

3、学习体会对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？

有什么疑惑？

4、自我测试

1、判断题，若是错的该怎样改正。

（1） 是分式。 （ ）

（2） 不是分式。（ ）

（3）当分式的分子值为0时，分式的值为0。（ ）

（4）当x≠2时，分式 有意义。（ ）

2、如果分式 的值为0，则x= 。

3、当x= 时，分式 的值为负数。

4、x等于什么数时，下列分式没有意义？

（1） （2）

5、甲乙两人同时同地同向而行，甲每小时走akm，乙每小时走bkm。如果从出发到终点的距离为mkm，甲的速度比乙快，则甲比乙提前几小时到达终点？

五、思维拓展

1、如果分式 有意义，那么x的取值范围是 。

2、已知分式 ，问a取何值时：

（1）分式的值为正？

（2）分式的值为负？

（1）分式的值为0？

（1）分式没有意义

篇12：轴对称的性质课件

轴对称的性质课件

教学目标

(一)知识 与技能目标

1.理解线段的垂直平分线的概念，掌握轴对称的性质；

2.能利用轴对称的性质 在轴对称图形中找出对称点，会根据已知的对称点画出对称轴.

（二）过程与方法目标

1.利用折纸操作经历轴对称图形性质的探究过程，形成对轴对称性质的深刻认识，提高分析问题、解决问题的能力；

2.提高学生的动手能力.

（三）情感态度与价值观目标

1.积累数学活动经验，进一步发展空间观念；

2.体会图形 中的对称美.

教学重点、难点

重点：探 索并理解轴对称的性质.

难点：轴对称性质的简单应用.

课前准备

1.教师准备：数学课件.[来源:学科网]

2.学生自备：长方形纸、剪刀.

教学过程设计

（一）创设情境

1.创设氛围，激发求知的欲望

师：上一节课我 们看到了好多好多生活中美丽的轴对称图案，给我们的视觉带来了美的享受.我们已经研究了轴对称和轴对称图形的基本特征.请问：成 轴对称的两个图形具有哪 些性质呢？这一节课我们就一起来探究轴对称的性质.

2.展开活动，点燃探究新知的热情

活动一  操作“画点、折纸、扎孔”.

师 ：请同学们拿出老师课前要求准备的长方形纸，用笔在纸上任意画一个点，标上字母 ，然后把纸对折，用笔尖在点 处扎孔，再把纸展开，并连接两孔 、.同学们观察手中的长方形纸思考讨论以下问题：

连接两孔 、的线段 与折痕 之间有什么关系？

学生观察思考讨论片刻后，请学生回答.

生1：折痕平分两孔组成的 线段 .

生2：折痕 垂直两孔组成的线段 .

老师肯定学生的回答，并引出线段的垂直平分线概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 （也称线段的中垂线）；

活动二  继续进行“画点、折纸、扎孔”的操作活动，自主探索成轴对称的线段、三角形的性质.

师：我们继续在长方形纸上任画一点 （不同于点 ），同样地，折纸、扎孔、展开，并连接 、、.请同学们思考以下问题：

（1）线段 与折痕 有什么关系？

（2）线段 与 有什么关系？

学生观察思考片刻后，请 学生回答.

生1：折痕 垂直平分线段 .

师：回答得很准确，已经掌握了我们活动一要探究的 问题. 第二个问题呢？

生2：线段 与 关于折痕 对称.（老师表扬给予鼓励，给学 生继续探索的信心）

师：请同学们再在纸上任画一点 ，并仿照上面进行操作，思考以下问题：

（ 1） 与 有什么关系？

（2） 、与折痕 又有什么关系？

师生共同讨论，发现 ≌ ， 、关于折痕 对称，进而得出结论 ：

（1）成轴对称的两个图形全等；

（2）如果两个图 形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.

（二）例题选讲

例1  画出图中成轴对称的两个图形的.对称轴以及两对对称点.

说明：学习了性质之后，再把性质运用到具体问题中去，这是一个从一般到特殊的过程，在解题时要引导学生通过学 过的知识来寻找解题途径.

例2  画出轴对 称图形的对称轴，并把在对称轴上的点 用字母标注出来，写出图中全等的三角形.

说明：通过学生熟悉的图形来运用轴对称的性质解决问题，让学生提高对学习的兴趣 ，加深对轴对称性 质的理解.

（三）学生练习

练习一 ：课本P11练习1,2,3；

说明：课本上的习题与例题很相近，能够及时训练加深巩固对轴对称性质的理解.

练习二：画出下列图形关于直线 的对称图形.

说明：这道题需要灵活运用所学的知识，对提高学生的思维能力有所帮助.

（四）课堂小结

通过这节课的学习你有什么感受？[来源:学&科&网Z&X&X&K]

（1）知道了线段的垂直平分线概念：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；

（2）通过探索得到了轴对称的性质：

①成轴对称的两个图形全等；

②如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.

（五）布置 作业

篇13：双曲空间中椭圆的一些几何性质

关于双曲空间中椭圆的一些几何性质

在双曲空间中,考察椭圆的包含关系,对弧长元素、测地曲率、曲率、面积及全曲率等几何量做出细致考察.

作 者：王幼宁 吴英丽 Wang Youning Wu Yingli  作者单位：北京师范大学数学科学学院,100875,北京 刊 名：北京师范大学学报（自然科学版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF BEIJING NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)：2007 43(4) 分类号：O1 关键词：双曲空间   椭圆   测地曲率   全曲率  

【椭圆的性质课件】相关文章：

1.椭圆的简单几何性质教案

2.人教版菱形的性质教学设计课件

3.高三数学椭圆知识点总结

4.椭圆双曲线抛物线知识点汇总

5.中班结构活动：椭圆形变变变

6.《椭圆的标准方程的求法》说课稿

7.连续函数的性质

8.公司章程的性质

9.函数的性质？

10.工作单位性质证明