向量坐标运算公式总结
“花袜子”通过精心收集，向本站投稿了14篇向量坐标运算公式总结，下面是小编为大家整理后的向量坐标运算公式总结，欢迎阅读与收藏。
篇1：下学期 5.4平面向量的坐标运算1
（第一课时）
一．教学目标
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.
二．教学重点 理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点 对平面向量坐标表示的理解．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
1．设置情境
师：平面内有点 ，点 ，能否用坐标来表示向量 呢？这就是我们今天要学习的平面向量的坐标运算．
（板书课题）平面向量的坐标运算
2．探索研究
（1）师：平面向量的基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？
生：如果 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、，使
我们把不共线的向全 、叫做这一平面内所有向量的一组基底，这就是平面向全的基本定理．
师：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得
我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作；
这就叫做向量的坐标表示
显然i＝（1，0） j＝（0，1） 0＝（0，0）
如图（1）所示，以原点O为起点与向量a相等的向量 ，则A点的坐标就是向量a的坐标，反之设 ，则点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标．
问题： 1°已知 (x1, y1) (x2, y2) 求 + ， - 的坐标
2°已知 (x, y)和实数λ, 求λ 的坐标
解： + =(x1 +y1 )+( x2 +y2 )=(x1+ x2) + (y1+y2)
即： + =(x1+ x2, y1+y2) 同理： - =(x1- x2, y1-y2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵ = - =( x2, y2) - (x1, y1)
=(x2- x1, y2- y1)
实数与向量积的坐标运算：已知 =(x, y) 实数λ
则λ =λ(x +y )=λx +λy
∴λ =(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
师：如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢？是充要条件吗？
生：a=b ．
（2）例题分析
【例1】 如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的坐标。
解：
师：平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？如何计算？
（1）已知 ，求 、。
（2）已知 和实数 ，求 的坐标（由学生完成）。
解：（1）
∴
（2）
∴
师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗？
生：两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。
【例2】 已知 ，求 ， ， 的坐标。
解：
【例3】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
解：设顶点D的坐标为
由 得
由
∴顶点D的坐标为（2，2）
3．演练反馈。（投影仪）
（1）已知三个力 的合力 ，求 的坐标。
（2）已知向量 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
（3）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及 ，求
①t为何值时，点P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
②四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由。
参考答案：
（1）
∴
（2）B．
（3）① ，若P在x轴上，只需 ；若P在y轴上，只需 ∴ ；若P在第二象限，则需 解得 。
②
若OABP为平行四边形，需
于是 无解。故四边形OABP不能成为平行四边形。
4．总结提炼
（1）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。
（2）要把点坐标 与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。
五．板书设计
1．平面向量的坐标定义。 （1） （2）i、j的含义 （3） 是a的坐标 2．平面向量坐标运算 | 例1 例2 演练反馈 总结提炼 |
篇2：下学期 5.4平面向量的坐标运算1
（第一课时）
一．教学目标
1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；
2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；
3．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.
二．教学重点理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算．
教学难点对平面向量坐标表示的理解．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
1．设置情境
师：平面内有点 ，点 ，能否用坐标来表示向量 呢？这就是我们今天要学习的平面向量的坐标运算．
篇3：下学期 5.4平面向量的坐标运算1
2．探索研究
（1）师：平面向量的基本定理的内容是什么？什么叫平面向量的基底？
生：如果 、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、，使
我们把不共线的向全 、叫做这一平面内所有向量的一组基底，这就是平面向全的基本定理．
师：如果在直角坐标系下，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得
我们就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作；
这就叫做向量的坐标表示
显然i＝（1，0）j＝（0，1）0＝（0，0）
如图（1）所示，以原点O为起点与向量a相等的向量 ，则A点的坐标就是向量a的坐标，反之设 ，则点A的坐标（x，y）也就是向量 的坐标．
问题： 1°已知 (x1, y1) (x2, y2) 求 + ， - 的坐标
2°已知 (x, y)和实数λ, 求λ 的坐标
解： + =(x1 +y1 )+( x2 +y2 )=(x1+ x2) + (y1+y2)
即： + =(x1+ x2, y1+y2)
同理： - =(x1- x2, y1-y2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵ = - =( x2, y2) - (x1, y1)
= (x2- x1, y2- y1)
实数与向量积的坐标运算：已知 =(x, y) 实数λ
则λ =λ(x +y )=λx +λy
∴λ =(λx, λy)
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
师：如果两个向量相等，那么这两个向量的坐标需满足什么条件呢？是充要条件吗？
生：a=b ．
（2）例题分析
【例1】 如图所示，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d并求出它们的.坐标。
解：
师：平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？如何计算？
（1）已知 ，求 、。
（2）已知 和实数 ，求 的坐标（由学生完成）。
解：（1）
∴
（2）
∴
师：通过以上计算，你能得出向量运算的加法法则、减法法则和实数与向量的乘积的运算法则吗？
生：两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应的坐标的和与差，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标。
【例2】 已知 ，求 ， ， 的坐标。
解：
【例3】 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
解：设顶点D的坐标为
由 得
由
∴顶点D的坐标为（2，2）
3．演练反馈。（投影仪）
（1）已知三个力 的合力 ，求 的坐标。
（2）已知向量 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
（3）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及 ，求
①t为何值时，点P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？
②四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值，若不能，请说明理由。
参考答案：
（1）
∴
（2）B．
（3）① ，若P在x轴上，只需 ；若P在y轴上，只需 ∴ ；若P在第二象限，则需 解得 。
②
若OABP为平行四边形，需
于是 无解。故四边形OABP不能成为平行四边形。
4．总结提炼
（1）引进向量的坐标后，向量的基本运算转化为实数的基本运算，可以解方程，可以解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域之中。
（2）要把点坐标 与向量坐标区分开来，两者不是一个概念。
五．板书设计
1．平面向量的坐标定义。
（1）
（2）i、j的含义
（3） 是a的坐标
篇4：下学期 5.4平面向量的坐标运算2
下学期 5.4平面向量的坐标运算2
（第二课时）
一．教学目标
1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．
2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；
二．教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用．
教学难点向量与坐标之间的转化．
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
1．设置情境
引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．
2．探索研究
（1）师：板书或投影以下4个习题：
①设 ，则
②向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是 ．
③若M（3，－2），N（－5，－1）且 ，则点P的坐标为 ．
A．（－8，－1） B． C． D．（8，－1）
④已知A（0，1），B（1，2），C（3，4），则
参考答案：
（1）
（2）有且只有一个实数 ，使得 （3）B （4）（－3，－3）
师：如何用坐标表示向量平行（共线）的`充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）
生：设
师：很好！这就是说 的充要条件是 （板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．
（1）
（2）
（2）例题分析
【例1】 已知 ，且 ，求y．
解：∵
∴
∴
【例2】 已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），求证A、B、C三点共线．
证：
又 ，
∴
又∵直线AB和直线AC有公共点A
∴A、B、C三点共线
【例3】 若向量 与 共线且方向相同，求x．
解：∵ 共线，
∴
∴ ．
∵a与b方向相同，
∴
师：若 ，不合条件吗？
生：∵若 ，则
∴
∴a与b反向与已知符．
【例4】 已知点A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量 与平行吗？直线AB与CD平行吗？
师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．
生：用两向量平行的充要条件是
解：
又 2×2－4×1＝0，
∴ ．
又
且 2×2－2×6≠0，
∴ 与 不平行．
∴A、B、C三点不共线，AB与CD不重合．
∴直线AB与CD平行．
3．演练反馈（投影）
（1）A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1）
求证： ．
（2）已知向量 且 ，则 等于（ ）
A．3 B． C． D．－3
参考答案：（1）先证 ，再证A、B、C、D四点不共线；（2）C
4．总结提炼
本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．
五．板书设计
课题
1．向量平行的坐标表示
（充要条件）
2．举例．
1．
2．
演练反馈
总结提炼
篇5：向量运算法则
点乘和叉乘的区别
点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。
向量a·向量b=|a||b|cos
在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。
叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。
|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin
向量c的方向与a，b所在的`平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。
向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a。
篇6：向量平行公式是什么
“在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。…若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=0”
平行向量：方向相同或相反的'非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。
若a=(x,y)，b=(m,n)，则a//b→a×b=xn-ym=0
共线定理：若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使向量a=λ向量b。若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则有 x1y2=x2y1 ，与平行概念相同。0向量平行于任何向量。
篇7：对称点坐标公式是什么
对称点。
把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心(the point of symmetry)，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的'对称点，叫做关于中心的对称点。
篇8：空气阻力运算公式
空气阻力的影响
汽车在行驶中由于空气阻力的作用，围绕着汽车重心同时诞生纵向、侧向和垂直等三个方向的`空气动力量，其中纵向空气力量是最大的空气阻力，约摸占整体空气阻力的80%以上。空气阻力系数值是由风洞测试得出来的。
篇9：Excel常用运算公式
1、查找重复内容公式：=IF(COUNTIF(A:A,A2)>1,”重复”,”“)。
2、用出生年月来计算年龄公式：=TRUNC((DAYS360(H6,”/8/30″,FALSE))/360,0)。
3、从输入的18位身份证号的出生年月计算公式：=CONCATENATE(MID(E2,7,4),”/”,MID(E2,11,2),”/”,MID(E2,13,2))。
4、从输入的身份证号码内让系统自动提取性别，可以输入以下公式：=IF(LEN(C2)=15,IF(MOD(MID(C2,15,1),2)=1,”男”,” 女”),IF(MOD(MID(C2,17,1),2)=1,”男”,”女”))公式内的“C2”代表的是输入身份证号码的单元格。
1、求和： =SUM(K2:K56) ——对K2到K56这一区域进行求和;
2、平均数： =AVERAGE(K2:K56) ——对K2 K56这一区域求平均数;
3、排名： =RANK(K2，K$2:K$56) ——对55名学生的成绩进行排名;
4、等级： =IF(K2>=85,”优”,IF(K2>=74,”良”,IF(K2>=60,”及格”,”不及格”)))
5、学期总评： =K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 ——假设K列、M列和N列分别存放着学生的“平时总评”、“期中”、“期末”三项成绩;
6、最高分： =MAX(K2:K56) ——求K2到K56区域(55名学生)的最高分;
7、最低分： =MIN(K2:K56) ——求K2到K56区域(55名学生)的最低分;
8、分数段人数统计：
(1) =COUNTIF(K2:K56,”100″) ——求K2到K56区域100分的人数;假设把结果存放于K57单元格;
(2) =COUNTIF(K2:K56,”>=95″)-K57 ——求K2到K56区域95～99.5分的人数;假设把结果存放于K58单元格;
(3)=COUNTIF(K2:K56,”>=90″)-SUM(K57:K58) ——求K2到K56区域90～94.5分的人数;假设把结果存放于K59单元格;
(4)=COUNTIF(K2:K56,”>=85″)-SUM(K57:K59) ——求K2到K56区域85～89.5分的人数;假设把结果存放于K60单元格;
(5)=COUNTIF(K2:K56,”>=70″)-SUM(K57:K60) ——求K2到K56区域70～84.5分的人数;假设把结果存放于K61单元格;
(6)=COUNTIF(K2:K56,”>=60″)-SUM(K57:K61) ——求K2到K56区域60～69.5分的人数;假设把结果存放于K62单元格;
(7) =COUNTIF(K2:K56,”<60″) ——求K2到K56区域60分以下的人数;假设把结果存放于K63单元格;
说明：COUNTIF函数也可计算某一区域男、女生人数，
如：=COUNTIF(C2:C351,”男”) ——求C2到C351区域(共350人)男性人数;
9、优秀率： =SUM(K57:K60)/55*100
10、及格率： =SUM(K57:K62)/55*100
11、标准差： =STDEV(K2:K56) ——求K2到K56区域(55人)的成绩波动情况(数值越小，说明该班学生间的成绩差异较小，反之，说明该班存在两极分化);
12、条件求和： =SUMIF(B2:B56,”男”，K2:K56) ——假设B列存放学生的性别，K列存放学生的分数，则此函数返回的结果表示求该班男生的成绩之和;
13、多条件求和： {=SUM(IF(C3:C322=”男”,IF(G3:G322=1,1,0)))｝ ——假设C列(C3:C322区域)存放学生的性别，G列(G3:G322区域)存放学生所在班级代码(1、2、3、4、5)，则此函数返回的结果表示求 一班的男生人数;这是一个数组函数，输完后要按Ctrl+Shift+Enter组合键(产生“{……｝”)。“{｝”不能手工输入，只能用组合键产生。
14、根据出生日期自动计算周岁：=TRUNC((DAYS360(D3,NOW( )))/360,0)
———假设D列存放学生的出生日期，E列输入该函数后则产生该生的周岁。
15、在Word中三个小窍门：
①连续输入三个“~”，按下回车键，可得一条波浪线。
②连续输入三个“-”，按下回车键，可得一条直线。
③连续输入三个“=”，按下回车键，可得一条双直线。
篇10：向量a乘b公式
A向量乘B向量等于什么：
点乘
向量A=(x1,y1)
向量B=(x2,y2)
向量A·向量B=|向量A||向量B|cosu=x1x2+y1y2=数值
u为向量A、向量B之间夹角。
叉乘
向量A×向量B=（x1y2i，x2y2j）=向量
篇11：两个向量相乘公式
向量的.乘积公式
向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)
a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ(θ是a,b夹角)
PS:向量之间不叫”乘积",而叫数量积..如a·b叫做a与b的数量积或a点乘b
向量积公式
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin
向量相乘分内积和外积
内积 ab=丨a丨丨b丨cosα（内积无方向，叫点乘）
外积 a×b=丨a丨丨b丨sinα（外积有方向，叫×乘）那个读差，即差乘，方便表达所以用差。
另外 外积可以表示以a、b为边的平行四边形的面积
＝两向量的模的乘积×cos夹角
＝横坐标乘积+纵坐标乘积
篇12：三点共线向量公式
三点共线证明方法：
方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的.解析式.代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）。
方法二：设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。
方法四:用梅涅劳斯定理。
方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”.可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线。
方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。
篇13：平面向量的公式的高中数学知识点总结
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 ab=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
设a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?λa?=?λ??a?。
当λ>0时，λa与a同方向;
当λ<0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当?λ?>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的?λ?倍;
当?λ?<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的?λ?倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=abcos〈a，b〉;若a、b共线，则ab=+-?a??b?。
向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。
向量的数量积的运算律
ab=ba(交换律);
(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);
(a+b)c=ac+bc(分配律);
向量的数量积的性质
aa=a的平方。
a⊥b 〈=〉ab=0。
ab≤ab。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。
3、ab≠ab
4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：?a×b?=absin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、??a?-?b??≤?a+b?≤?a?+?b?;
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、??a?-?b??≤?a-b?≤?a?+?b?。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
这篇有关平面向量的公式的高中数学知识点总结，是小编精心为同学们准备的，祝大家学习愉快!
[平面向量的公式的高中数学知识点总结]
篇14：空间向量及其加减运算说课稿
各位专家评委大家好！
我是来自福海县第一高级中学的任燕，今天我说课的课题是《空间向量及其加减运算》，它选自人民教育出版社A版高中数学选修2-1“第三章空间向量与立体几何”的第一节内容。
我将从说教材、说学生、说教法、说学法、说教学过程、说板书设计，六个方面陈述我对本节课的设计方案。恳请各位专家评委批评指正。
一、说教材：
1、地位和作用：
向量可以表示物体的位置，其本身也是一种几何图形（既有方向又有长度的线段），因而它成为几何学基本的研究对象；又因向量可以进行加减、数乘、数量积等运算，从而它又成为代数学的研究对象，因此可以说向量是最重要的数学模型，是链接代数与几何的桥梁。
用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而降低许多立体几何的解题难度，而且由于近几年高考命题倾向于新教材的改革，因此善于运用空间向量来解决立体几何的问题成为高考命题的热点之一,也是应考复习中不可忽视的一个重要问题。
本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
2、教学的重点和难点：
根据教学大纲的要求我确定教学重难点如下：
教学重点：（1）空间向量的有关概念；
（2）空间向量的'加减运算及其运算律、几何意义；
（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用
教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
二、说学生
1、学情分析
由于学生已经有了一定的平面向量知识和立体几何的空间观念作为基础，在教学中可运用类比和归纳的方法让学生体验数学结构上的层次感和完整性。虽然空间向量是在平面向量的基础上的进行的推广，涉及的内容与平面中的类似，学生比较容易接受，但是在实际教学中应注意增加了维数所带给学生不利的影响。
2、教学目标：
新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，应该在获得知识与技能的过程中学会学习和树立正确价值观。因此根据《空间向量及其加减运算》在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教学目标：
知识与技能 （1）通过本节课的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何 体加深对运算的理解。
过程与方法 （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探
究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运
算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识
情感态度与价值观 通过本节课的学习，让学生在掌握知识的同时，体验发现 数学的乐趣，从而激发学生努力学习的动力。
三、说教法：
基于上面的分析，我根据自己对 “启发式”教学模式和新课程改革的理论认识，结合本校学生实际，主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。二是运用启发式教学方法，就是把教和学的各种方法综合起来统一组织运用于教学过程，以求获得最佳效果。并且在整个教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。三是注重渗透类比法、归纳法等一般的数学思想方法。让学生在探索学习知识的过程中，领会常见数学思想方法，培养学生的探索能力和创造性素质。四是注意在探究问题时留给学生充分的时间，以利于开放学生的思维。正如叶老师所说“教就是为了不教”。
四、说学法：
学生学习的过程实际上就是学生主动获取、整理、贮存、运用知识和获得学习能力的过程，因此，我觉得在教学中，指导学生学习时，应尽量避免单纯地、直露地向学生灌输某种知识和学习方法，注重培养学生学会通过自学、观察、类比等方法获取相关知识，使学生在探索研究过程中分析、归纳能力得到提高。
五、说教学过程
本着“学生是学习的主体”的教学理念，结合学生实际，对本节课的教学设计如下：
1、创设情境，引入新课
我将以三名学生从空间三个不同方向提拉一个物体这一生活实例出发，让学生感受向量在生活中的实际存在以及平面向量的局限性。接着用多媒体展示正方体同一个顶点上的三条棱表示的三个向量是空间向量而引出数学中的空间向量问题。
设计意图：让学生体会数学源于生活，并用于生活，提高学生的学习兴趣。
2、复习旧知，归纳新知
利用多媒体展示平面向量的相关问题帮助学生回忆相关知识，然后阅读教材内容，并根据这些问题对比平面向量和空间向量的异同点，请学生完成表格及填空。
设计意图：让学生体会类比和归纳的数学思想，并让学生充分体验自主学习的快乐。
3、例题示范，巩固基础
利用多媒体出示例题1。请学生独立完成，并说明理由。
例1：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
??????②若空间向量a,b满足a?b，则a?b；
?????????③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC?AC11；
???????????????④若空间向量m,n,p满足m?n，n?p，则m?p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
设计{意图：让学生及时巩固基础知识，增加学习信心。
4、复习旧知，类比新知
引导学生复习近平面向量加减法，提出“空间中任意两个向量与平面内两个向量有什么关系”这一问题，通过类比的方法引出空间向量的加减法以及加法运算律。
设计意图：让学生理解空间向量的可平移性，知道空间任意两个向量都是共面向量，并
体会类比的数学思想，提高学习兴趣。
5、延伸拓展，知识升华
通过空间向量加法的三角形法则归纳出多个向量的加法原理
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量； ??????????????????????????? A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An
（2）首尾相接的多个力的和向量构成封闭图形时合力为零。
?????????????????????
A1A2?A2A3?A3A4???AnA1?0
设计意图：让学生进一步感受空间向量是平面向量的延伸和推广，体会空间向平面转化的思想。
6、例题示范，反馈练习
多媒体展示例2，学生先自己解答，然后让学生在黑板上展示自己的解答过程，师生共同点评。
例2如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量表达式：
???????? (1)AA1?CB；
??????????????(2) AB1?BC11?C1D1； (3)
设计意图：让学生巩固空间向量加减法及其运算律的同时让学生感受空间向量和立体图形间的联系，体现空间向平面的转化思想。
自主练习1、在平面向量中，下列说法正确的是( )
A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等
B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同
C．如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
设计意图：巩固基础知识，深化概念 ?1????1????1???AD?AB?A1A. 222
???????????????2、如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB?a，AD?b，AA1?c
?????则D1B等于( )
??????A．a?b?c B．a?b?c
???C．a?b?c ???D．?a?b?c
设计意图：让学生巩固空间向量加减法及其运算律的同时让学生感受空间向量和立体图形间的联系，体现空间向平面的转化思想。
7、课堂小结，布置作业
（1）小结：由学生回顾本节内容并作出总结。
设计意图:通过回顾，对概念的发生与发展过程有清晰的认识。
（2）作业：作业分为必做题和选做题，必做题对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与强化，注重知识的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．
我设计了以下作业：
（1）必做题：P97页第1题
（2）选做题：已知空间四边形ABCD，点M、N分别是边AB、CD的中点，
→→
化简AC＋AD－AB.
六、说板书设计
板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。
以上就是我对本节课的理解和设计，敬请各位专家、评委批评指正。
谢谢！
→
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