下学期 5.6平面向量的数量积及运算律2

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篇1：下学期 5.6平面向量的数量积及运算律2

下学期 5.6平面向量的数量积及运算律2

（第二课时）

一、教学目标

1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；

2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；

3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的'应用，培养学生的应用意识．

二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；

教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.

三、教学具准备

投影仪

四、教学过程

1．设置情境

上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？

2．探索研究

（1）师：什么叫做两个向量的数量积？

生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）

师：向量的数量积有哪些性质？

生：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

师：向量的数量积满足哪些运算律？

生（由学生验证得出）

交换律：

分配律：

师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）

生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。

（2）例题分析

【例1】求证：

（1）

（2）

分析：本例与多项式乘法形式完全一样。

证：

注： （其中 、为向量）

答：一般不成立。

【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 .

解：∵

注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.

【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直．

分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？

生：

解： 与 互相垂直的充要条件是

即

∵

∴

∴

∴  当且仅当 时， 与 互相垂直．

3．演练反馈（投影）

（1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与 互相垂直，求 与 的夹角．

（2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时，

①求 的值；

②求证： 与 垂直．

（3）证明：直径所对的圆周角为直角．

参考答案：

（1）

（2）解答：①由

当 时 最小；

②∵

∴ 与 垂直.

（3）如图所示，设 ， ， （其中 为圆心， 为直径， 为圆周上任一点）

则

∵  ，

∴   即  圆周角

4．总结提炼

（l）

（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．

（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．

（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律．

五、板书设计

课题：

1．数量积性质

2．数量积运算律

例题

1

2

3

演练反馈

总结提炼

篇2：下学期 5.6平面向量的数量积及运算律1

下学期 5.6平面向量的数量积及运算律1

（第一课时）

一、教学目标

1．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；

2．掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；

3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.

二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用

教学难点 平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解．

三、教学具准备

直尺，投影仪

四、教学过程

1．设置情境

师：我们学过功的概念：即一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一个什么角度？

表示力 的方向与位移 的方向的夹角．

我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量 、，来规定 的含义。

2．探索研究

（l）已知两个非零向量 和 ，在平面上任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角．你能指出下列图中两向量的夹角吗？

① 与 的夹角为 ，② 与 的夹角为 ，③ 与 的夹角是 ，④ 与 的夹角是 ．

（2）下面给出数量积定义：

师：（板书）已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ，叫做向量 与 的数量积或（内积）记作 即

并规定

师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别．

生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量．

师：你能从图中作出 的几何图形吗？ 表示的几何意义是什么？

生：如图，过 的终点 作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得：

所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影．

师：因此我们得到 的几何意义：向量 与 的`数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积．

注意：1°投影也是一个数量，不是向量。

2°当q为锐角时投影为正值；

当q为钝角时投影为负值；

当q为直角时投影为0；

当q = 0°时投影为 |b|；

当q = 180°时投影为 -|b|。

向量的数量积的几何意义：

数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。

（3）下面讨论数量积的性质：

（每写一条让学生动手证一条）设 ， 都是非零向量， 是与 的方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则

①

②

③当 与 同向时， ，当 与 反向时， 。

特别地

④

⑤

3．演练反馈（投影）

（通过练习熟练掌握性质）

判断下列各题是否正确

（1）若 ，则对任意向量 ，有    （    ）

（2）若 ，则对任意非零量 ，有 （    ）

（3）若 ，且 ，则           （    ）

（4）若 ，则 或             （    ）

（5）对任意向量 有                  （    ）

（6）若 ，且 ，则          （   ）

参考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×．

4．总结提炼

（l）向量的数量的物理模型是力的做功．

（2） 的结果是个实数（标量）

（3）利用 ，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。

（4）二向量夹角范围 ．

（5）五条属性要掌握．

五、板书设计

课题

1．“功”的抽象

2．数量积的定义

3．（5）条性质

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4．演练反馈

5．总结提炼

篇3：下学期 5.4平面向量的坐标运算2

下学期 5.4平面向量的坐标运算2

（第二课时）

一．教学目标

1．熟练掌握向量的坐标运算，并能应用它来解决平面几何的有关问题．

2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；

二．教学重点向量共线充要条件的坐标表示及应用．

教学难点向量与坐标之间的转化．

三．教学具准备

直尺、投影仪

四．教学过程

1．设置情境

引进直角坐标系后，向量可以用坐标表示．那么，怎样用坐标反映两个向量的平行？如何用坐标反映几何图像的结合关系？本节课就这些问题作讨论．

2．探索研究

（1）师：板书或投影以下4个习题：

①设 ，则

②向量a与非零向量b平行（共线）的充要条件是           ．

③若M（3，－2），N（－5，－1）且 ，则点P的坐标为              ．

A．（－8，－1）  B．   C．   D．（8，－1）

④已知A（0，1），B（1，2），C（3，4），则

参考答案：

（1）

（2）有且只有一个实数 ，使得   （3）B  （4）（－3，－3）

师：如何用坐标表示向量平行（共线）的`充要条件？会得到什么重要结论？（引导学生）

生：设

师：很好！这就是说 的充要条件是 （板书或投影）．向量平行（共线）充要条件的两种表示形式．

（1）

（2）

（2）例题分析

【例1】  已知 ，且 ，求y．

解：∵

∴

∴

【例2】  已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），求证A、B、C三点共线．

证：

又 ，

∴

又∵直线AB和直线AC有公共点A

∴A、B、C三点共线

【例3】  若向量 与 共线且方向相同，求x．

解：∵   共线，

∴

∴ ．

∵a与b方向相同，

∴

师：若 ，不合条件吗？

生：∵若 ，则

∴

∴a与b反向与已知符．

【例4】  已知点A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量 与平行吗？直线AB与CD平行吗？

师：判断两向量是否平行，需要哪个知识点．

生：用两向量平行的充要条件是

解：

又  2×2－4×1＝0，

∴ ．

又

且  2×2－2×6≠0，

∴ 与 不平行．

∴A、B、C三点不共线，AB与CD不重合．

∴直线AB与CD平行．

3．演练反馈（投影）

（1）A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1）

求证： ．

（2）已知向量 且 ，则 等于（  ）

A．3  B．   C．   D．－3

参考答案：（1）先证 ，再证A、B、C、D四点不共线；（2）C

4．总结提炼

本节课我们主要学习了平面向量平行的坐标表示，要掌握平面向量平行的充要条件的两种形式，会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行（重合）．

五．板书设计

课题

1．向量平行的坐标表示

（充要条件）

2．举例．

1．

2．

演练反馈

总结提炼

篇4：《2.4平面向量的数量积》测试题

一、选择题

1.已知向量满足，且，则与的夹角为(  ).

A. B. C. D.

考查目的：考查平面向量的数量积的意义.

答案：C.

解析：根据平面向量数量积的意义，及可得，.

2.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则等于(  ).

A.  B. C. D.(1，0)

考查目的：考查平面向量数量积的坐标运算.

答案：B.

解析：利用排除法. ∵在D中，，∴D不合题意；∵在C中向量不是单位向量，∴也不符题意；∵A是向量会使得，同样不合题意，答案只有选B.

3.(四川理)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则(   ).

A.8 B.4 C.2 D.1

考查目的：考查平面向量加、减法运算的几何意义，以及数形结合思想.

答案：C.

解析：∵，∴是以A为直角顶点的直角三角形.又∵M是BC的中点，∴.

二、填空题

4.已知，则与方向相同的单位向量为 .

考查目的.：考查方向相同的单位向量的求法和运算.

答案：.

解析：∵，∴与方向相同的单位向量.

5.已知：，与的夹角为，则在方向上的投影为 .

考查目的：考查平面向量投影的概念与计算.

答案：.

解析：在方向上的投影为.

6.(天津文)若等边的边长为，平面内一点M满足，则＝ .

考查目的：考查平面向量的加、减法运算和平面向量的数量积运算.

答案：-2.

解析：∵，∴，，∴.

三、解答题

7.已知，若，试求实数的值.

考查目的：考查平面向量的数量积运算和平面向量垂直的性质等.

答案：.

解析：∵，∴，即，得.

8.已知向量，，.

⑴求的最小值及相应的值；

⑵若与共线，求实数.

考查目的：考查平面向量的坐标运算与求函数最值等的综合运算.

解析：⑴∵，∴，∴，当且仅当时取等号；⑵∵，与共线，∴，∴.

篇5：高中数学平面向量的数量积教案

一、教学内容分析

1、教学主要内容

(1)平面向量数量积及其几何意义

(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题

2、教材编写特点

本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。

3、教学内容的核心教学思想

用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。

4、我的思考

本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。

二、学生分析

1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形

a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣

即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。

对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。

2、我的思考

对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。

三、学习目标

1、知识与技能

(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。

(2)平面向量数量积的应用。

2、过程与方法

通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。

3、情感态度与价值观

培养学生运算推理的能力。

四、教学活动

内容 师生互动 设计意图 时间 1、课题引入 师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。

生：加法、减法，数乘

师：这些运算所得的结果是数还是向量。

生：向量。

师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。 3min 2、平面向里的数量积定义 师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：

已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab

②O与任何向量的数里积为O。 直接给出定义，可以让学习对新知识的求知数得到满足，并对新知识的探究有一个方向性。 5min 3、几何意义 师：同学们猜想

a·b=∣a∣∣b∣cosQ

用图怎么表示

生：a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

=∣OM∣·∣OB∣

师：数里积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影∣b∣cosθ的面积。

师：请同学们讨论数量积且有哪些性质

通过自己画图培养学生把问题转化到图形上，到图形上解决问题的能力。

5min 性 质 师：同学们a·b为非零向果，a·b=∣a∣·∣b∣cosθ。当θ=0°，90°，180°时，a·b有什么性质呢。

生：①当θ=90°时

a·b= a·b=∣a∣·∣b∣cosθ

②当a与b同向时

即θ= 0° ，则a·b=∣ a∣·∣b∣

当a与b反向时，

即θ= 180°，则a·b=∣ a∣·∣b∣

特别a·a=∣ a∣2 成 ∣ a∣= a·a

③∣a∣·∣b∣≤∣ a∣ ∣b∣

学生自己的探究性质，体会并深入理解向里数量的运算性质。 8min 生：①a·b= b·a(交换)

②(λa)·b=λ (a·b)

篇6：高中数学平面向量的数量积教案

教材分析：

前面已学习了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量的数量积。教科书以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量。

在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量夹角对数量积符号的影响;然后由投影的概念得出了数量积的几何意义;并由数量积的定义推导出一些数量积的重要性质;最后“探究”研究了运算律。

教学目标：

(一)知识与技能

1.掌握数量积的定义、重要性质及运算律;

2.能应用数量积的重要性质及运算律解决问题;

3.了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。

(二)过程与方法

以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过例题分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

(三)情感、态度与价值观

创设适当的问题情境，从物理学中“功”这个概念引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，加强数学与其它学科及生活实践的联系。

教学重点：

1.平面向量的数量积的定义;

2.用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。

教学难点：

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。

教学方法：

启发引导式

教学过程：

(一)提出问题，引入新课

前面我们学习了平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、以及数乘运算，它们的运算结果都是向量，既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然会提出：两个向量是否能进行“乘法”运算呢?如果能，运算结果又是什么呢?

这让我们联想到物理中“功”的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，F与s的夹角是θ，那么力F所做的功如何计算呢?

我们知道：W=|F||s|cosθ，

功是一个标量(数量)，而力它等于力F和位移s都是矢量(向量)，功等于力和位移这两个向量的大小与它们夹角余弦的乘积。这给我们一种启示：能否把功W看成是两向量F和s的一种运算的结果呢，为此我们引入平面向量的数量积。

(二)讲授新课

今天我们就来学习：(板书课题)

2.4平面向量的数量积

一、向量数量积的定义

1.已知两个非零向量 与 ，我们把数量| || |cosθ叫做 与 的数量积(或内积)，记作 ，即 =| || |cosθ ， 其中 θ是 与 的夹角。

2.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 =0

注意：

(1)符号“ ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替。

(2) 是 与 的夹角，范围是0≤θ≤π，(再找两向量夹角时，若两向量起点不同，必须通过平移，把起点移到同一点，再找夹角)。

(3)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量。而且这个数量的大小与两个向量的模及其夹角有关。

(4)两非零向量 与 的数量积 的符号由夹角θ决定：

cosθ

= cosθ = 0

cosθ

前面我们学习了向量的加法、减法及数乘运算，他们都有明确的几何意义，那么向量的数量积的几何意义是什么呢?

二、数量积的几何意义

1.“投影”的概念：已知两个非零向量 与 ，θ是 与 的夹角，| |cos( 叫做向量 在 方向上的投影

思考：投影是向量，还是数量?

根据投影的定义，投影当然算数量，可能为正，可能为负，还可能为0

|(为锐角 (为钝角 (为直角

| |cos( | |cos( | |cos(=0

当(为锐角时投影为正值;当(为钝角时投影为负值;当(为直角时投影为0;当( = 0(时投影为 | |;当( = 180(时投影为 (| |

思考： 在 方向上的投影是什么，并作图表示

2.数量积的几何意义：数量积 等于 的长度| |与 在 方向上投影| |cos(的乘积，也等于 的长度| |与 在 方向上的投影| |cos(的乘积。

根据数量积的定义，可以推出一些结论，我们把它们作为数量积的重要性质

三、数量积的重要性质

设 与 都是非零向量，θ是 与 的夹角

篇7：高中数学平面向量的数量积教案

向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义;二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念;二是几何意义和运算律;三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

知识和技能：

使学生了解向量的数量积的抽象根源。

使学生理解向是的数量积的概念：

两个非零向量的夹角;定义;本质;几何意义。

使学生了解向量的数量积的运算律

掌握向量数量积的主要变化式： ;

过程与方法：

从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念，并强调它的本质;接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。

给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。

由数量积的定义式，变化出一些特例。

情感、态度和价值观：

使学生学会有效学习：抓住知识之间的逻辑关系。

三、重、难点：

【重点】数量积的定义，向量模和夹角的计算方法

【难点】向量的数量积的几何意义

四、教学方案及其设计意图：

平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。于是在引导学生学平面向量数量积的概念时，要围绕物理方面已有的知识展开，这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的机会。(如图)首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为W ，这里的(是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。以此为基础引出了两非零向量a， b的数量积的概念： ， 是记法， 是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当 时，数量积为正数;当 时，数量积为零;当 时，数量积为负。

向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分： 。此概念也以物体做功为基础给出。 是向量b在a的方向上的投影。

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