八年级勾股定理压轴题
“ysysfc1143”通过精心收集，向本站投稿了4篇八年级勾股定理压轴题，下面给大家分享八年级勾股定理压轴题，欢迎阅读!
篇1：八年级勾股定理压轴题
二、填空题
16.如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是_____米.
【答案】2.5.
17.如图， 中，∠B= ，AB=3㎝，AC=5㎝，将 折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则CE=____㎝.
【答案】
18.如图，在△ABC中，AB=15cm，AC=13cm，BC=14cm，则△ABC的面积为________cm2.
【答案】84
【解析】作CD ,垂足为D，设AD=x,则BD=15-x,根据勾股定理得： ，即 解得： ,则S= .故答案为84.
19.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s.
【答案】20
【解析】试题解析：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m;
据勾股定理可得：BC= =40(m)，
故小汽车的速度为v= =20m/s.
20.直角三角形的两边长分别是3和4，则此三角形的面积是______________
【答案】6或
21.△ABC中，AB=AC=9，BC=12，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，当线段AD=7时，BD的长为 .
【答案】4或8
【解析】如图，AE⊥BC于点E，则∠AED=90°，
∵AB=AC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=45.
又∵AD=9，
∴在Rt△ADE中，DE= 2.
∴①当点D在B、E之间时，BD=BE-DE=6-2=4;
②当点D在C、E之间时(图中的D1处)，BD=BE+DE=6+2=8.
∴BD的长为4或8.
22.如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为9、4、4、1，则的正方形E的面积是_______.
【答案】18
23.如图阴影部分正方形的面积是_______.
24.若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边为_______.
25.如图，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，且AB=2，则正方形ADEF的面积为_______.
26.一长方形门框宽为1.5米，高为2米.安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少_______米长.
27.如图是一等腰三角形状的铁皮△ABC，BC为底边，尺寸如图，单位：cm，根据所给的条件，则该铁皮的面积为_______.
28.如图是连江新华都超市一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，小马虎从点A到点C共走了12 m，电梯上升的高度h为6m，经小马虎测量AB=2 m，则BE=_______.
29.如图，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P'AB，则点P与P'之间的距离为PP'=_______，∠APB=_______度.
30.如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=_______.
篇2：八年级勾股定理压轴题
三、解答题(共46分)
1.(6分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D.
(1)求AB的长;
(2)求CD的长.
2.(6分)如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，求AD长.
3.(6分)某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B=90°，AB=3m，BC=4 m，AD=12 m，CD=13 m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元?
4.(6分)如图，两点A，B都与平面镜相距4米，且A，B两点相距6米，一束光由A点射向平面镜，反射之后恰好经过B点，求B点与入射点间的距离.
5.(6分)如图，一块长方体砖宽AN=5 cm，长ND=10 cm，CD上的点B距地面的高BD=8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?
6.(8分)探索与研究：
方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程;
方法2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?
7.(8分)(1)如图(1)，在四边形ABCD中，BC⊥CD，∠ACD=∠ADC.
求证：AB+AC>;
(2)如图(2)，在△ABC中，AB上的高为CD，试判断(AC+BC)2与AB2+4CD2之间的大小关系，并证明你的结论.
篇3：八年级勾股定理压轴题
一、单选题
1.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 12，15，18 B. 12，35，36 C. 2，3，4 D. 5，12，13
【答案】D
2.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于( )
A. 1- B. 1- C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：设CD与B′C′相交于点O，连接OA.
根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°.
3.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A. 5 B. 25 C. 10 +5 D. 35
【答案】B
【解析】试题解析：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB= .
4.在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A.
5.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是( )
A. x2+y2=81 B. x+y=13 C. 2xy+16=81 D. x-y=4
【答案】B
6.如图，带阴影的长方形面积是( )
A. 9 cm2 B. 24 cm2 C. 45 cm2 D. 51 cm2
【答案】C
【解析】试题解析：由图可知，△ABC是直角三角形，
∵AC=8cm，BC=12cm，
∴AB= =15cm，
∴S阴影=15×3=45cm2.
故选C.
7.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形.如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )
A. 9 B. 36 C. 27 D. 34
【答案】B
【解析】大正方形的面积为32+62=45，小正方形的面积为(6-3)2=9，则面积差为45-9=36.故选B.
8.如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为( )
A. B. C. 3 D. 2
【答案】B
故选B.
9.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处。这棵大树折断前高度估计为 ( )
A. 25cm B. 18m C. 17m D. 13m
【答案】B
10.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD=5∶2，AC=17，BC=10，则BD的长为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】根据AD∶BD=5∶2，设AD=5x，BD=2x，根据勾股定理得： ,即
，解得x=3,则BD=2x=6.故选C.
11.已知x，y为正数，且|x-4|+(y-3)2=0，如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( )
A. 5 B. 7 C. 7或25 D. 16或25
【答案】D
12.如图,AB⊥CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5,那么AC的长为( )
A. 12 B. 7 C. 5 D. 13
【答案】D
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
又∵△ABD和△EBC都是等腰三角形，
∴EB=BC=5，AB=BD，
∴AB=BD=DC-BC=17-5=12，
∴在Rt△ABC中，AC= .
故选D.
13.一个直角三角形的两条边分别是6和8，则第三边是( )
A. 10 B. 12 C. 12或 D. 10或
【答案】D
【解析】(1)当长为6和8的两边都是直角边时，第三边是斜边，其长为： ;
(2)当长为8的是斜边是，第三边是直角边，其长为： ;
即第三边的长为10或 .
故选D.
14.如图，把长方形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处, 已知∠MPN=90°，且PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为( )
A. 26 B. 28.8 C. 26.8 D. 28
【答案】B
15.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )
A. 121 B. 120 C. 90 D. 不能确定
【答案】C
【解析】设另一直角边长为 ，则由题意可知斜边长为 ，根据勾股定理可得： ，解得： ，
∴这个直角三角形的周长为：40+41+9=90.故选C.
篇4：八年级数学勾股定理经典例题解析
八年级数学勾股定理经典例题解析
经典例题透析
类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2-CD2
=132-122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2-BC2
=52-32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在 中， ， ， . 求：BC的长.
思路点拨：由条件 ，想到构造含 角的直角三角形，为此作 于D，则有
， ，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：作 于D，则因 ，
∴ ( 的两个锐角互余)
∴ (在 中，如果一个锐角等于 ，
那么它所对的直角边等于斜边的一半).
根据勾股定理，在 中，
.
根据勾股定理，在 中，
.
∴ .
举一反三【变式1】如图，已知： ， ， 于P. 求证： .
解析：连结BM，根据勾股定理，在 中，
.
而在 中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵ (已知)，
∴ .
在 中，根据勾股定理有
，
∴ .
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE= = 。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE= = 。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=
类型三：勾股定理的实际应用
(一)用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
(1)求A、C两点之间的距离。
(2)确定目的地C在营地A的什么方向。
解析：(1)过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
(2)在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H.
解：OC=1米 (大门宽度一半)，
OD=0.8米 (卡车宽度一半)
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD= = =0.6米，
CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.
(二)用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论.
解析：设正方形的边长为1，则图(1)、图(2)中的总线路长分别为
AB+BC+CD=3，AB+BC+CD=3
图(3)中，在Rt△ABC中
同理
∴图(3)中的路线长为
图(4)中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH=CH
由∠FBH= 及勾股定理得：
EA=ED=FB=FC=
∴EF=1-2FH=1-
∴此图中总线路的长为4EA+EF=
3>2.828>2.732
∴图(4)的连接线路最短，即图(4)的架设方案最省电线.
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.
解：
如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm， 根据勾股定理得
(提问：勾股定理)
∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).
答：最短路程约为10.77cm.
类型四：利用勾股定理作长为 的线段
5、作长为 、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 ，直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ，类似地可作 。
作法：如图所示
(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB，使AB为斜边;
(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 。斜边为 ;
(3)顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、、、的长度就是
、、、。
举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。
解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为 。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1.原命题：猫有四只脚.(正确)
2.原命题：对顶角相等(正确)
3.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)
4.原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.(正确)
思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。
解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫(不正确)
2. 逆命题：相等的角是对顶角(不正确)
3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(正确)
4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)
总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52,
∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.
分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF= AB。
请问FE与DE是否垂直?请说明。
【答案】答：DE⊥EF。
证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a,
∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF(如图)
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴ DF2=EF2+DE2,
∴ FE⊥DE。
经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
(3x)2+(4x)2=202
化简得x2=16;
∴直角三角形的面积= ×3x×4x=6x2=96
总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。
举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：BD= BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)
∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)
∴BD=1
在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2=4-1=3
∴AD=
S△ABC= BC•AD=
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为 a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由(1)得：x+y=7，
(x+y)2=49，x2+2xy+y2=49 (3)
(3)-(2)，得：xy=12
∴直角三角形的面积是 xy= ×12=6(cm2)
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2
化简得：n2=4
∴n=±2，但当n=-2时，n+1=-1<0，∴n=2
总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。
例如：对于选择D，
∵82≠(40+39)×(40-39)，
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。 【答案】：A
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
解：连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AC•CD=36
类型二：勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响?请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒?
思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB⊥MN，垂足为B。
在 RtΔABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=30°， AP=160，
∴ AB= AP=80。 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半)
∵点 A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，
由勾股定理得： BC2=1002-802=3600,∴ BC=60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m)，BD=60(m),
∴CD=120(m)。
拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s
t=120m÷5m/s=24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。
解析：他们原来走的路为3+4=7(m)
设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7-5=2(m)
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
(1)直接写出单位正三角形的高与面积。
(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少?
(3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。
【答案】(1)单位正三角形的高为 ，面积是 。
(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积 。
(3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示)，则在Rt△ACK中， ，
，故
类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5.求线段EF的长。
思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.
解：连接AD.
因为∠BAC=90°，AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB.AD⊥BC.
且∠BAD=∠C=45°.
因为∠EDA+∠ADF=90°. 又因为∠CDF+∠ADF=90°.
所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).
所以AE=FC=5.
同理：AF=BE=12.
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
(二)方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， ，求 、、的值。
思路点拨：由 ，再找出 、的关系即可求出 和 的值。
解：在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则 ，由勾股定理，得 。
因为 ，所以 ，
， ， 。
总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
解：因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以 。 所以 。
设 ，则 。
在Rt△ECF中， ，即 ，解得 。
即EF的长为5cm。
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