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参数Kleene系统的三Ⅰ算法与反向三Ⅰ支持算法

2023-03-21 08:07:47 收藏本文下载本文

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篇1：参数Kleene系统的三Ⅰ算法与反向三Ⅰ支持算法

参数Kleene系统的三Ⅰ算法与反向三Ⅰ支持算法

提出基于参数蕴涵算子θp模糊推理的思想,给出了在模糊推理的'每一步都使用蕴涵运算θp的三Ⅰ算法与反向三Ⅰ支持算法理论,得到了三Ⅰ上确界算法、模糊取式算法(FMP)与模糊拒取式算法(FMT)的计算公式,这将有助于提高模糊推理结果的可靠性.

作者：宋颖张兴芳张凤霞 SONG Ying ZHANG Xing-fang ZHANG Feng-xia 作者单位：聊城大学,数学科学学院,山东,聊城,252059 刊名：模糊系统与数学 ISTIC PKU英文刊名：FUZZY SYSTEMS AND MATHEMATICS 年，卷(期)： 21(6) 分类号：O159 关键词：模糊推理参数Kleene蕴涵算子三Ⅰ算法反向三Ⅰ支持算法

篇2：三对角系统算法研究的论文

三对角系统算法研究的论文

【摘要】在科学和工程计算中，许多问题往往归结为三对角线性方程组的求解，其并行算法的研究具有重要意义。文章全面总结了当前求解三对角线性方程组的两类并行算法：直接解法和迭代解法，并介绍了其特点。

【关键词】三对角线性方程组；分治策略；并行算法；算法可扩展性

一、概述

三对角线性方程组的求解是许多科学和工程计算中最重要也是最基本的问题之一。在核物理、流体力学、油藏工程、石油地震数据处理及数值天气预报等许多领域的大规模科学工程和数值处理中都会遇到三对角系统的求解问题。很多三对角线性方程组的算法可以直接推广到求解块三对角及带状线性方程组。由于在理论和实际应用上的重要性，近来三对角方程组的并行算法研究十分活跃。

大规模科学计算需要高性能的并行计算机。随着软硬件技术的发展，高性能的并行计算机日新月异。现今，SMP可构成每秒几十亿次运算的系统，PVP和COW可构成每秒几百亿次运算的系统，而MPP和DSM可构成每秒万亿次运算或更高的系统。

高性能并行计算机只是给大型科学计算提供了计算工具。如何发挥并行计算机的潜在性能和对三对角系统进行有效求解，其关键在于抓住并行计算的特点进行并行算法的研究和程序的设计与实现。另外，对处理机个数较多的并行计算系统，在设计并行算法时必须解决算法的可扩展性，并对可扩展性进行研究和分析。

二、问题的提出

设三对角线性方程组为

AX=Y（1）

式中：A∈Rn×n非奇异，αij=0，。X=(x1，x2，…xn)TY=(y1，y2，…yn）T。

此系统在许多算法中被提出，因此研究其高性能并行算法是很有理论和实际意义的。

三、并行求解三对角系统的直接解法

关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法，其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境，基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单，容易推广到一般带状线性方程组的并行求解，而且为相继出现的`许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。

近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略，即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题，求解这P个小规模问题，再将这些解结合起来得到原三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段：一是消去，每台处理机对子系统消元；二是求解缩减系统（需要通信）；三是回代，将缩减系统的解回代到每个子系统，求出最终结果。具体可分为以下几类：

（一）递推耦合算法（RecursiveDoubling）

由Stone于1975年提出，算法巧妙地把LU分解方法的时序性很强的递推计算转化为递推倍增并行计算。D.J.Evans对此方法做了大量研究。P.Dubois和G.Rodrigue的研究表明Stone算法是不稳定的。

（二）循环约化方法（CyclicReduction）

循环约化方法由Hockey和G.Golub在1965年提出，其基本思想是每次迭代将偶数编号方程中的奇变量消去，只剩下偶变量，问题转变成求解仅由偶变量组成的规模减半的新三对角方程组。求解该新方程组，得到所有的偶变量后，再回代求解所有的奇变量。即约化和回代过程。由于其基本的算术操作可以向量化，适合于向量机。此方法有大量学者进行研究，提出了许多改进的方法。例如，Heller针对最后几步的短向量操作提出了不完全循环约化方法；R.Reulter结合IBM3090VF向量机的特点提出了局部循环约化法；P.Amodio针对分布式系统的特点改进了循环约化方法；最近针对此方法又提出对三对角方程组进行更大约化步的交替迭代策略。

（三）基于矩阵乘分解算法

将系数矩阵A分解成A=FT，方程Ax=b化为Fy=b和Tx=y两个方程组的并行求解。这种算法又可以分为两类：

1.重叠分解。如Wang的分裂法及其改进算法就属于这一类。P.Amodio在1993年对这类算法进行了很好的总结，用本地LU、本地LUD和本地循环约化法求解，并在1995年提出基于矩阵乘分解的并行QR算法。H.Michielse和A.VanderVorst改变Wang算法的消元次序，提出了通信量减少的算法。李晓梅等将H.Michielse和A.VanderVorst算法中的通信模式从单向串行改为双向并行，提出DPP算法，是目前最好的三对角方程组分布式算法之一。骆志刚等中依据DPP算法，利用计算与通信重叠技术，减少处理机空闲时间取得了更好的并行效果。此类算法要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。例如Lawrie&Sameh算法、Johsoon算法、Baron算法、Chawla在1991年提出的WZ分解算法以及Mattor在1995年提出的算法都属于这一类。此类算法要求解2P-2阶缩减系统。

（四）基于矩阵和分解算法

将系数矩阵分解成A=Ao+△A，这类算法的共同特点是利用Sherman&Morrison公式将和的逆化为子矩阵逆的和。按矩阵分解方法，这种算法又可分为两类：

1.重叠分解。这类算法首先由Mehrmann在1990年提出，通过选择好的分解在计算过程中保持原方程组系数矩阵的结构特性，具有好的数值稳定性，需要求解P-1阶缩减系统。

2.不重叠分解。Sun等在1992年提出的并行划分LU算法PPT算法和并行对角占优算法PDD算法均属于这一类。需要求解2P-2阶缩减系统。其中PDD算法的通讯时间不随处理机的变化而变化，具有很好的可扩展性。X.H.Sun和W.Zhang在提出了两层混合并行方法PTH，其基本思想是在PDD中嵌入一个内层三对角解法以形成一个两层的并行，基本算法是PDD，三对角系统首先基于PDD分解。PTH算法也具有很好的可扩展性。

四、并行求解三对角系统的迭代解法

当稀疏线性方程组的系数矩阵不规则时，直接法在求解过程中会带来大量非零元素，增加了计算量、通信量和存储量，并且直接法不易并行，不能满足求解大规模问题的需要。因此通常使用迭代法来求解一般系数线性方程组和含零元素较多三对角线性方程组。迭代法包括古典迭代法和Krylov子空间迭代法。

古典迭代法包括Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR等方法。通常采用红黑排序、多色排序和多分裂等技术进行并行计算。由于古典迭代法有收敛速度慢、并行效果不好等缺点，目前已较少用于直接求解大型稀疏线性方程组，而是作为预条件子和其它方法（如Krylov子空间方法）相结合使用。

Krylov子空间方法具有存储量小，计算量小且易于并行等优点，非常适合于并行求解大型稀疏线性方程组。结合预条件子的Krylov子空间迭代法是目前并行求解大型稀疏线性方程组的最主要方法。

给定初值X0，求解稀疏线性方程组AX=Y。设Km为维子空间，一般投影方法是从m维仿射子空间X0+Km中寻找近似解Xm使之满足Petrov-Galerkin条件

Y-AXm┻Lm

其中Lm为另一个维子空间。如果Km是Krylov子空间，则上述投影方法称为Krylov子空间方法。Krylov子空间Km(A，r0)定义为：

Km(A，r0)=span{r0，Ar0，A2r0，…，Am-1r0}

选取不同的Km和Lm就得到不同的Krylov子空间方法。主要算法包括四类：基于正交投影方法、基于正交化方法、基于双正交化方法、基于正规方程方法。

Krylov子空间迭代法的收敛速度依赖于系数矩阵特征值的分布，对于很多问题，直接使用迭代法的收敛速度特别慢，或者根本不收敛。因此使用预条件改变其收敛性，使中断问题可解，并加速收敛速度是需要的。目前人们研究的预条件技术可分为四类：采用基于矩阵分裂的古典迭代法作为预条件子、采用不完全LU分解作预条件子、基于系数矩阵近似逆的预条件子、结合实际问题用多重网格或区域分解作预条件子。对Krylov子空间和预条件Krylov子空间方法有详细的讨论。

预条件Krylov子空间方法的并行计算问题一直是研究热点，已提出了一系列好的并行算法。目前预条件Krylov子空间方法的计算量主要集中在矩阵向量乘上。虽然学者们做了大量的研究工作，但是还没找到效果好，又易于并行的预条件子。

需要特别指出的是，对于一般线性代数方程组的并行求解，其可扩展并行计算的研究已相对成熟，并已形成相应的并行软件库，如美国田纳西亚州立大学和橡树岭国家实验室研制的基于消息传递计算平台的可扩展线性代数程序库ScaLAPACK和得克萨斯大学开发的界面更加友好的并行线性代数库PLAPACK。我们借鉴其研究成果和研究方法，对三对角线性方程组并行算法的研究是有帮助的。

五、结语

三对角线性方程组的直接解法，算法丰富，程序较容易实现。但计算过程要增加计算量，并且大部分算法都对系数矩阵的要求比较高。迭代解法适合于非零元素较多的情况，特别是结合预条件子的Krylov子空间迭代法已成为当前研究的热点。

尽管三对角系统并行算法的研究取得了很多成果。但是还存在一些问题：直接法中，分治策略带来计算量和通信量的增加，如何减少计算量和通信量有待于进一步的研究；目前直接算法均基于分治策略，如何把其它并行算法设计技术，如平衡树和流水线等技术应用到三对角系统的并行求解中也是需要引起重视的方向；对于非对称系统还没找到一种通用的Krylov子空间方法；Krylov子空间方法的并行实现时仅考虑系数矩阵与向量乘，对其它问题考虑不够；以往设计的并行算法缺乏对算法可扩展性的考虑和分析。

【参考文献】

[1]骆志刚，李晓梅，王正华.三对角线性方程组的一种有效分布式并行算法[J].计算机研究与发展，，（7）.

篇3：RL型三I算法

RL型三I算法

基于三I方法,结合Lukasiewicz的蕴涵算子,给出具体的'RL型三I算法,对其性质做了分析,将其在特殊取值的结果与直观推理规则相比较,得出RL型三I算法是一种适合于日常直观推理算法.

作者：高小军李俊民赵东元作者单位：高小军,李俊民(西安电子科技大学,理学院,陕西,西安,710071)

赵东元(胜利机械厂,宝鸡9901厂,军代室,陕西,宝鸡,721000)

刊名：西安电子科技大学学报(自然科学版) ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF XIDIAN UNIVERSITY 年，卷(期)： 29(3) 分类号：O159 关键词：三I方法直观推理规则 RL型三I算法

篇4：4.2 解一元一次方程的算法(三)

4.2 解一元一次方程的算法(三)教学目标1．在具体情景中建立方程模型．2．能准确应用去括号法则解一元一次方程。教学重、难点重点：利用去括号的法则解含括号的一元一次方程。难点：解含多重括号的一元一次方程教学过程一激情引趣，导入新课1 下面去括号是否正确？（1）2-(3x-5)=2-3x-5，（2） 5x- 3（2x-4）=5x-6x-122下图中马路的旁边栽了几颗树？间隔几段？段数和棵数有什么规律？下面我们就来看一道与植树有关的问题二合作交流，探究新知1 问题1现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔5.5米栽一棵，则树苗正好用完．你能算出原有树苗的棵数和这段路的长度吗?（做完后交流做法）2 尝试练习：（1 ）解方程：（2）下面方程的解法对不对？如果不对，请改正。解方程：解：去括号，得移项，得化简，得方程两边除以，得：x= - (3) 解下了方程，并口算检验： ①（4y+8）+(3y-7)=0 , ② 2(2x-1)-2(4x+3)=7③ 三应用迁移，巩固提高1 解含有多重括号的方程例1 解方程： 2 实践应用例2 如果代数式8x-9与6-2x的值互为相反数，则x的值为___________例3 如果用c表示摄氏温度（℃），f表示华氏温度（℉），那么c和f之间的关系是“c= (f-32)”已知c=15,求f.四冲刺奥赛例4 已知关于x的方程3[x-2 (x- )]=4x,和有相同的解，求这个解。五反思小结，拓展提高遇到有括号的方程应该怎样处理呢？六作业 p 118 a 组 5、6、7 b 组 2

篇5：数学必修三第一章算法知识点

数学必修三第一章算法知识点

(1)算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

(2)算法的特点:

①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

④不性：求解某一个问题的解法不一定是的，对于一个问题可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决。

结构

(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所

指定的操作。

(2)条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的

算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行

A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

(3)循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

①一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

②另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。

2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

数学线段的性质

(1)线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。

(2)连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

(3)线段的中点到两端点的距离相等。

(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

高中数学向量知识点

1.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.

2.几个概念：零向量、单位向量(与共线的单位向量是，平行(共线)向量(无传递性，是因为有)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影(在上的投影是).

3.两非零向量平行(共线)的充要条件

4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使a= e1+ e2.

5.三点共线;

6.向量的数量积：

篇6：数学必修三算法的概念的知识点

数学必修三算法的概念的知识点

1.1.1 算法的概念

1、算法概念：

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2. 算法的特点:

(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

1.1.2 程序框图

1、程序框图基本概念：

(一)程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。

(二)构成程序框的图形符号及其作用

程序框名称功能

起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。

输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。

处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时明“否”或“N”。

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

(三)、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作。

2、条件结构：

条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

(1)、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

(2)、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

1.2.1 输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句

(1)输入语句的一般格式

(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;(4)输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式;(5)提示内容与变量之间用分号“;”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。

2、输出语句

(1)输出语句的一般格式

(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据;(4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。

3、赋值语句

(1)赋值语句的一般格式

(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;

(3)赋值语句中的“=”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;

(4)赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式;(5)对于一个变量可以多次赋值。

注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

1.2.2条件语句

1、条件语句的一般格式有两种：(1)IF—THEN—ELSE语句;(2)IF—THEN语句。2、IF—THEN—ELSE语句

1.2.3循环语句

1、WHILE语句

循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。

当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体;然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

2、UNTIL语句

直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

(1)：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数 ;(2)：若 =0，则n为m，n的最大公约数;若 ≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数 ;(3)：若 =0，则为m，n的最大公约数;若 ≠0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数 ;…… 依次计算直至 =0，此时所得到的即为所求的最大公约数。

2、更相减损术

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译为：(1)：任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是，用2约简;若不是，执行第二步。(2)：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。

3、辗转相除法与更相减损术的区别：

(1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

1.3.2秦九韶算法与排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序

1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中.(由于算法简单，可以举例说明)

2、冒泡排序

基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3进位制

1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

如何复习

把学过的数学知识再进行学习，以达到深入理解、融会贯通、精炼概括、牢固掌握的目的。复习应与听课紧密衔接、边阅读教材边回忆听课内容或查看课堂笔记，及时解决存在的知识缺陷与疑问。

(1)复习笔记和卷纸。

对学习的内容务求弄懂，切实理解掌握。不能仅停留在把已学的知识温习记忆一遍的要求上，而要去努力思考新知识是怎样产生的，是如何展开或得到证明的，其实质是什么，应用它如何拓展加宽等。要勤于复习(知识点、典型题等)，经常看，反复看---这就是心理学上讲的艾宾浩斯遗忘曲线所揭示的道理。建议学生采用放电影的方法。

完成作业后，把书和笔记合上，回忆课堂上的内容，如定律、公式及例题解答思路、方法等，尽量完整的在大脑中重现。再打开课本及笔记进行对照，重点复习遗漏的知识点。这既巩固了当天上课内容，也可查漏补缺。

(2)适量做题

准备一个错题本，记载做过的错题再次演练。对于自己曾经做错的题目，回想一下为什么会错、错在什么地方。自己曾经犯错误的地方，往往是自己最薄弱的地方，仅有当时的订正是不够的，还要进行适当的强化训练。

(3)大胆质疑，增强学习的主动性

要经常与同学研究，或问老师，不要积攒过多问题。更不要把不会做的题完全寄托在课堂上等待老师去讲。

自然数的意思

自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

篇7：基于正则蕴涵算子的三Ⅰ算法的性质

基于正则蕴涵算子的三Ⅰ算法的性质

基于正则蕴涵算子分析了三Ⅰ算法的连续性与逼近性问题,指出在模糊连续输入的'条件下,R(L)、RG、RⅡ型三Ⅰ算法均具有连续性与逼近性,并指出了R0型三Ⅰ算法具有连续性与逼近性的条件是(V)x ∈ X,A*(x)Λ A(x)＞1/2成立.

作者：于鹏王国俊 YU Peng WANG Guo-jun 作者单位：陕西师范大学,数学与信息科学学院,陕西,西安,710062 刊名：陕西师范大学学报（自然科学版） ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF SHAANXI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 35(2) 分类号：O142 关键词：模糊推理正则蕴涵算子三Ⅰ算法连续性逼近性

篇8：双稳态随机共振系统参数选择快速算法及应用

双稳态随机共振系统参数选择快速算法及应用

摘要：针对双稳态随机共振(SR)系统参数选择困难的问题,提出了基于龙格库塔数值算法的随机共振参数选择快速算法,并将其应用于目标线谱检测.首先对双稳态SR系统进行参数归一化,在此基础上提出了由输入信噪比来选择系统步长,并根据归一化频率和谐波估计幅值和来计算SR系统参数的参数选择快速算法.该算法能够对不满足绝热条件下的高频或大尺度离散信号进行处理,快速选择SR系统的系统参数,并根据龙格库塔数值算法求得输出序列.数值仿真验证了此算法的正确性,同时海试数据处理结果表明,该算法能够快速地确定合适的'SR系统参数,使信噪比为1.013 5 dB的目标辐射线谱明显的凸显出来. 作者：杨保国田坦张殿伦 Author： YANG Baoguo TIAN Tan ZHANG Dianlun 作者单位：哈尔滨工程大学,水声技术实验室,黑龙江,哈尔滨,150001 期刊：哈尔滨工程大学学报 ISTICEIPKU Journal： JOURNAL OF HARBIN ENGINEERING UNIVERSITY 年，卷(期)： , 32(3) 分类号： N93 关键词：随机共振双稳态线谱检测龙格库塔算法机标分类号： TN9 TM8 机标关键词：双稳态随机共振系统参数选择快速算法 application stochastic resonance 数值算法龙格库塔输入信噪比归一化频率选择系统谐波估计线谱检测输出序列目标辐射离散信号快速选择绝热条件海试数据仿真验证基金项目：国家科技重大专项基金资助项目，哈尔滨工程大学校内基金资助项目双稳态随机共振系统参数选择快速算法及应用[期刊论文] 哈尔滨工程大学学报 --2011, 32(3)杨保国田坦张殿伦针对双稳态随机共振(SR)系统参数选择困难的问题,提出了基于龙格库塔数值算法的随机共振参数选择快速算法,并将其应用于目标线谱检测.首先对双稳态SR系统进行参数归一化,在此基础上提出了由输入信噪比来选择系统步长,并...