斐波那契数列
“jirui”通过精心收集，向本站投稿了7篇斐波那契数列，这里给大家分享一些斐波那契数列，供大家参考。
篇1：斐波那契数列
斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
目录定义通项公式与黄金分割特性定义斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 特别指出：0是第0项，不是第1项。 这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多・斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨。他被人称作“比萨的列昂纳多”。12，他撰写了《珠算原理》（Liber Abacci）一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯等地研究数学。
通项公式递推公式
斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式： 显然这是一个线性递推数列。
通项公式
(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）
通项公式的推导
方法一：利用特征方程（线性代数解法） 线性递推数列的特征方程为： 解得 则 解得： 方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 设常数r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 则r+s=1， -rs=1。 n≥3时，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 …… F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。 联立以上n-2个式子，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。 ∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。 上式可化简得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 （这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的`和）。 =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。 =(s^n - r^n)/(s-r）。 r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。 解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 得α+β=1。 αβ=-1。 构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 所以。 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 由式1，式2，可得。 an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 方法四：母函数法。 考察函数Sn（x）=F1 x+F2 x?+F3 x?+……+Fn x^n……………………………① 则 xSn（x）=F1 x?+F2 x?+……+F{n1} x^n+Fn x^(n+1)……………………② x?Sn（x）=F1 x?+……+F{n2} x^n+F{n1} x^(n+1)+Fn x^(n+2)………③ ①②③得（1xx?）Sn（x）=xF{n+1} x^(n+1)Fn x^(n+2)……④ 令1xx?=0（即x=或x=） 于是，④式右边=0即xF{n+1} x^(n+1)Fn x^(n+2)=0 移项，两边同除以x^(n+1)，得到…………………………⑤ 将x的两个值分别代入⑤，并作差，得到（x1x2）Fn= 代入具体数值得到
与黄金分割关系
有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618） 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 越到后面，这些比值越接近黄金比.
证明
a[n+2]=a[n+1]+a[n]。 两边同时除以a[n+1]得到： a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。 若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x， 则lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。 所以x=1+1/x。 即x²=x+1。 所以极限是黄金分割比..
特性平方与前后项
从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1和它的后一项3的积3多1。 （注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 证明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
与集合子集
斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
求和
证明： 当n=0时，有f(0) = f(0 + 2) - 1 = f(2) - 1,显然成立。 假设当n=k(k>=0且k为整数)时，等式成立，则有 f(0)+f(1)+f(2)+....+f(k)=f(k+2)-1，两边同时加上f(k+1),得 f(0)+f(1)+f(2)+....+f(k)+f(k+1)=f(k+2)+f(k+1)-1=f(k+3)-1 则此时n=k+1时，等式成立 综上，等式成立
隔项关系
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]
两倍项关系
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1) 与组合数关系
篇2：神奇的斐波那契数列-记叙文
神奇的斐波那契数列-记叙文1000字
自从我认识了黄金比，得知黄金比在生活中很常见，于是我又进行了课外拓展，了解了斐波那契数列。
斐波那契数列，顾名思义是由斐波那契发现的。指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……此数列的特点是:这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。用关系式来表达就是:n(数列的第n个数，n≥3)=n-1+n-2。此外，还有一个特点，那就是从第二项开始。每个奇数项的平方比前后两个项的积少1;每个偶数项的平方比前后两个项相乘的积多1。斐波那契数列最大的特点就是从第三个项开始，前面两个项的和与后面一个项的比值无限接近于黄金比(0.6180339)。
这个数列在生活中很常见，例如葵花、鹦鹉螺等等都有斐波那契数列的影子。最神奇的.是，这个数列与我国古代数学家杨辉发现的杨辉三角有极大的相连关系。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都起到很重要的作用。
诸如大家平时耳熟能详的断臂维纳斯，人民大会堂。古埃及的一些建筑，到处都有斐波那契数列的身影。数列不仅增加建筑体的美观形象，还增加了建筑体的质量。斐波那契数列还有一个别称，那就是兔子数列。兔子的繁殖与斐波那契数列十分相似。在一些专门饲养兔子的农厂掌握斐波那契数列，可以更好的掌握兔子数量的增减，从而达到节省饲料的目的。
斐波那契数列在我们平时的生活中还有什么用处呢?答案是肯定有的，于是我就想到了在表演才艺中是不是也可以用到?例如表演魔术：在一张纸上并排画11个小方格。让人背对着自己(确保自己看不到他在纸上写什么)，在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第三个方格开始，在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让对方一直算出第10个方格里的数。现在，叫对方报出第10个方格里的数，自己只需要在计算器上按几个键，便能说出第11个方格里的数应该是多少。对方会非常惊奇地发现，把第11个方格里的数计算出来，所得的结果与你的预测一模一样!这就奇怪了，在不知道头两个数是多少的情况下，只知道第10个数的大小，不知道第9个数的大小，怎么能猜对第11个数的值呢?其实只需要将第十个数除以0.618......就可以得到正确的结果，假如第十个数是249，则可以将249÷0.618......≈403，最后就会发现，结果是一模一样。
斐波那契数列仅仅是数学海洋一个缩影，知识是来源于生活，从而又服务于生活。合理的利用，才能将知识的作用与力量发挥到极致!
篇3：有趣的斐波那契数列日记200字
有趣的斐波那契数列日记200字
今天，我做完了暑假作业，看了一下《超有趣的数学魔法》，有一篇讲：生活在12世纪的数学家斐波那契曾在一本书中列出下面这道题：通常兔子出生两个月后就会生兔宝宝，一对兔子每个月生一对小兔子，那么一年后会有多少只兔子呢？原来，他把每个月兔子的数目罗列出来：1对，1对，2对，3对，5对，8对，13对，......这些数字构成了一个数列，通过观察可以发现，前面相邻两个数字之间的和等于后面的数字，即1+1=2,1+2=3,2+3=5，依此类推，这样的'数列叫做斐波那契数列。在大自然中，像植物的花瓣数目，松果的鳞片，菠萝表皮的花纹，原来都是按照这样的数列排列的。哦！数学真有趣，我开始有点喜欢数学了。
篇4：hdu4549M斐波那契数列(矩阵+欧拉定理)
Problem Description
M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：
F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n >1 )
现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？
Input
输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0<= a, b, n<= 10^9 ）
Output
对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行，
Sample Input
0 1 0 6 10 2
Sample Output
0 60
Source
金山西山居创意游戏程序挑战赛――初赛（2）
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可以发现,每一项上面的指数,刚好是fib数
但是直接做指数太大,mod为素数
所以根据欧拉定理
mod的欧拉函数值为mod-1
a^b = a^(b%(mod - 1)
然后就可以做了
/************************************************************************* >File Name: hdu4549.cpp >Author: ALex >Mail: zchao1995@gmail.com >Created Time: 03月16日 星期一 20时12分13秒 ************************************************************************/#include
篇5：与斐波那契数列的恒等式的组合法证明
与斐波那契数列有关的恒等式的组合法证明
与斐波那契数列有关的`恒等式具有美丽的外表,这种美自然激发我们去追求导致美的原因,希望找到美的理由或推导出美.本文将从组合的角度去论证与斐波那契数列有关的恒等式,正是对美的探索与追求.
作 者：姜洋 孙朝仁 作者单位：姜洋(江苏省连云港市新海实验中学,22)孙朝仁(江苏省连云港市教育局教研室,222004)
刊 名：数学通报 PKU英文刊名：BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 48(11) 分类号：O1 关键词：篇6：HDU 4549 M斐波那契数列（矩阵快速幂）
Problem DescriptionM斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：
F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n >1 )
现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？
Input输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0<= a, b, n<= 10^9 ）
Output对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行，
Sample Input
0 1 06 10 2
Sample Output
060
通过观察我们发现f[n]中a,b的数量变化符合斐波那契数列特征。于是f[n]=a^k*b^m%MOD;因此我们要用矩阵快速幂去求a和b的幂然而由于数很大，同样要去模一个数，这就是这个题的坑点。求和后用快速幂求f[n]就简单了。同样此题要注意前两项。
#include
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